Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que:
T(x, y, z)=(x-y, x+2 y-z, y-z)
Se [T(v)]C=[c1 2 -1], encontre v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de álgebra linear, mais especificamente de operadores lineares. A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 definido por:
T(x, y, z) = (x - y, x + 2y - z, y - z)
E a gente precisa encontrar o vetor v tal que:
[T(v)]C = 1 2 -1
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar o operador linear T como uma matriz e, então, resolver o sistema de equações resultante para encontrar v .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T como uma matriz. Sabemos que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o resultado da transformação.
Então, para encontrar a matriz de T , vamos ver como T age nos vetores da base padrão de R^3 , que são e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) .
Vamos calcular T(e1) , T(e2) e T(e3) :
  • T(1, 0, 0) = (1 - 0, 1 + 2 cdot 0 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
  • T(0, 1, 0) = (0 - 1, 0 + 2 cdot 1 - 0, 1 - 0) = (-1, 2, 1)
  • T(0, 0, 1) = (0 - 0, 0 + 2 cdot 0 - 1, 0 - 1) = (0, -1, -1)
Esses resultados formam as colunas da matriz de T . Então, a matriz de T é:
A = 1 & -1 & 0 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1

Passo 3

Agora, queremos encontrar o vetor v tal que [T(v)]C = 1 2 -1 . Isso significa que quando aplicamos a matriz A ao vetor v , obtemos o vetor dado.
Vamos escrever isso como uma equação matricial:
A cdot v = 1 2 -1
Onde v = v1 v2 v3 .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
1 cdot v1 - 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 1 1 cdot v1 + 2 cdot v2 - 1 cdot v3 = 2 0 cdot v1 + 1 cdot v2 - 1 cdot v3 = -1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira equação:
v1 - v2 = 1 Rightarrow v1 = v2 + 1
Terceira equação:
v2 - v3 = -1 Rightarrow v2 = v3 - 1
Agora, substituímos v2 da terceira equação na expressão para v1 :
v1 = (v3 - 1) + 1 = v3
Agora, temos v1 = v3 e v2 = v3 - 1 . Vamos usar isso na segunda equação do sistema:
v1 + 2v2 - v3 = 2 v3 + 2(v3 - 1) - v3 = 2 v3 + 2v3 - 2 - v3 = 2 (1v3 + 2v3 - v3) - 2 = 2 2v3 - 2 = 2 2v3 = 4 v3 = 2

Passo 5

Agora que encontramos v3 = 2 , podemos encontrar v1 e v2 :
v1 = v3 = 2 v2 = v3 - 1 = 2 - 1 = 1
Então, o vetor v é:
v = v1 v2 v3 = 2 1 2

Resposta

O vetor v é 2 1 2 .

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