Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?
[rr6 & -8 -1 & -8]

Passo 1

O enunciado dá três matrizes
A=4 & 0 -2 & -2, B=1 & -1 2 & 3, C=0 & 2 1 & 4
e pergunta se a matriz
M=6 & -8 -1 & -8
pode ser escrita como combinação linear de A,B,C. Para isso, precisamos achar escalares x,y,z tais que
M = xA + yB + zC

Passo 2

Escrevendo a igualdade entrada a entrada, obtemos o sistema
4x + 1y + 0z = 6, 0x - 1y + 2z = -8, -2x + 2y + 1z = -1, -2x + 3y + 4z = -8

Passo 3

Da primeira equação temos
y = 6 - 4x
Da segunda,
-,y + 2z = -8 Longrightarrow - (6 - 4x) + 2z = -8 Longrightarrow 2z + 4x = -2 Longrightarrow z = -1 - 2x
Substituindo y e z na terceira equação:
-2x + 2(6 - 4x) + (-1 - 2x) = -1 Longrightarrow -2x + 12 - 8x -1 - 2x = -1 Longrightarrow -12x + 11 = -1 Longrightarrow x = 1
Logo,
y = 6 - 4cdot1 = 2, z = -1 - 2cdot1 = -3

Passo 4

Para garantir consistência, verificamos a quarta equação:
-2cdot1 + 3cdot2 + 4cdot(-3) = -2 + 6 - 12 = -8,
que coincide com o termo independente. Portanto a solução é única e consistente.

Resposta

A matriz
6 & -8 -1 & -8
é combinação linear de A,B,C, com
M = 1cdot A + 2cdot B - 3cdot C

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