Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?
[ll6 & 0 3 & 8]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=4 & 0-2 & -2, B=1 & -12 & 3, C=0 & 21 & 4
e pergunta se
M=6 & 03 & 8
é combinação linear delas. Em outras palavras, queremos encontrar escalares x,y,z tais que
xA + yB + zC = M

Passo 2

Escrevendo xA + yB + zC = M e igualando termo a termo, obtemos o sistema
4x + y = 6, -y + 2z = 0, -2x + 2y + z = 3, -2x + 3y + 4z = 8

Passo 3

Da segunda equação segue
y = 2z
Substituindo em 4x + y = 6
4x + 2z = 6 Longrightarrow x = tfrac6 - 2z4 = tfrac3 - z2
Agora usamos a terceira equação:
-2x + 2y + z = 3
Inserindo x = tfrac3 - z2 e y = 2z:
-2l(tfrac3 - z2r) + 2(2z) + z = 3 Longrightarrow -(3 - z) + 4z + z = 3 Longrightarrow 6z = 6 Longrightarrow z = 1

Passo 4

Com z=1 obtemos y = 2 e x = tfrac3 - 12 = 1. Verificando na quarta equação:
-2(1) + 3(2) + 4(1) = -2 + 6 + 4 = 8,
que coincide com o valor pedido, mostrando que o sistema é consistente.

Resposta

A matriz 6 & 03 & 8 é combinação linear de A, B e C com
1cdot A ;+; 2cdot B ;+; 1cdot C

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