Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares
T: M2 times 2 M2 times 2, definida por T([lla & b c & d])=[rr2 c & a+c b-2 c & d];

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tl(a & b c & dr) =2c & a+c b-2c & d
no espaço M2times2. Queremos encontrar autovalores lambda e autovetores Mneq0 tais que T(M)=lambda M. A estratégia será representar T na base canônica de M2times2simeqR^4, calcular o polinômio característico, achar os valores de lambda e resolver (T-lambda I)M=0.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
E1=1&00&0,; E2=0&10&0,; E3=0&01&0,; E4=0&00&1,
e identificamos (a,b,c,d)^top com aE1+bE2+cE3+dE4. Então
T(a,b,c,d)=(2c,;a+c,;b-2c,;d),
de onde a matriz de T nessa base é
A= 0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Como A é em bloco triangular, já vemos um autovalor lambda=1 (da última linha). Para o bloco 3times3 consideramos
B=0&0&21&0&10&1&-2 e det(B-lambda I3) =lambda^3+2lambda^2-lambda-2 =(lambda-1)(lambda+1)(lambda+2)
Assim os autovalores são
lambda=1 (mu< 2), lambda=-1, lambda=-2

Passo 4

Para cada [\lambda) resolvemos com e reescrevemos em forma matricial:
Para o sistema é
logo e é livre. Autovetores:
Para o sistema é
de onde , . Autovetor:
Para o sistema é
logo , . Autovetor:

Resposta

lambda=1 com autovetores gerados por
2&31&0 e 0&00&1,
lambda=-1 com autovetor -2&11&0,
lambda=-2 com autovetor -1&01&0.

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