Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares , definida por ;
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
no espaço . Queremos encontrar autovalores e autovetores tais que . A estratégia será representar na base canônica de , calcular o polinômio característico, achar os valores de e resolver .
Passo 2
Escolhemos a base canônica
e identificamos com . Então
de onde a matriz de nessa base é
Passo 3
Como A é em bloco triangular, já vemos um autovalor lambda=1 (da última linha). Para o bloco 3times3 consideramos
B=0&0&21&0&10&1&-2 e det(B-lambda I3) =lambda^3+2lambda^2-lambda-2 =(lambda-1)(lambda+1)(lambda+2)
Assim os autovalores são
lambda=1 (mu< 2), lambda=-1, lambda=-2
Passo 4
Para cada [\lambda) resolvemos com e reescrevemos em forma matricial:
Para o sistema é
logo e é livre. Autovetores:
Para o sistema é
de onde , . Autovetor:
Para o sistema é
logo , . Autovetor:
Resposta
lambda=1 com autovetores gerados por 2&31&0 e 0&00&1, lambda=-1 com autovetor -2&11&0, lambda=-2 com autovetor -1&01&0.