Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares
T: P^2[x] P^2[x], definida por T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b;

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;Tcolon P^2[x]toP^2[x]
por
Tl(a x^2+b x+cr)=a x^2+c x+b
Queremos encontrar todos os autovalores lambda e, para cada um, os autovetores não nulos p(x) tais que
Tl(p(x)r)=lambda,p(x)
Para isso, vamos usar a base canônica x^2,x,1, obter a matriz de T, determinar seu polinômio característico e depois achar as soluções dos sistemas lineares correspondentes.

Passo 2

Na base x^2,x,1 temos
T(x^2)=x^2, T(x)=1, T(1)=x
Logo a matriz de T é
M= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
O polinômio característico é
det(M-lambda I) =(1-lambda)det-lambda & 1[6pt]1 & -lambda =(1-lambda)l(lambda^2-1r) =(1-lambda)^2(1+lambda)
Portanto os autovalores são
lambda1=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2=-1 (multiplicidade algébrica 1).]

Passo 3

Eigenspace para lambda=1: escreva
p(x)=a x^2+b x+c,
e imponha T(p)=p:
a x^2+c x+b = a x^2+b x+c
Comparando coeficientes:
a=a, c=b, b=c;Longrightarrow;b=c
Logo os vetores fixos são
p(x)=a x^2+b(x+1),
com a,binR. Uma base para esse subespaço é
,x^2,,x+1, de dimensão 2.

Passo 4

Eigenspace para lambda=-1: imponha T(p)=-p:
a x^2+c x+b = -,l(a x^2+b x+cr) =-a x^2-b x-c
Comparando coeficientes:
a=-a;Longrightarrow;a=0, c=-b, b=-c;Longrightarrow;c=-b
Assim
p(x)=b x+c=b,x - b=b,(x-1),
com bneq0. Uma base para esse autovalor é ,x-1, de dimensão 1.

Resposta

Os autovalores são lambda=1 (com espaço próprio gerado por x^2,,x+1) e lambda=-1 (com espaço próprio gerado por x-1).

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