Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares e matrizes:
(d) T(p)=p^{\prime}, \operatorname{com} V=\mathcal{P}_{2} e T a derivada

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear T\colon V\to V dado por
T(p)=p',
onde V=\mathcal{P}_{2} é o espaço dos polinômios de grau até 2. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor: queremos p\neq0 e \lambda tais que
T(p)=\lambda p\quad\Longleftrightarrow\quad p'=\lambda p.

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico de V:
p(x)=a x^{2}+b x+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Então a sua derivada é
p'(x)=2a x + b.

Passo 3

A condição de autovalor/autovetor p'=\lambda p fica
2a x + b = \lambda\,(a x^{2}+b x + c).
Como são polinômios iguais, os coeficientes de cada monômio devem coincidir:
\lambda a = 0,\quad 2a = \lambda b,\quad b = \lambda c.

Passo 4

Da primeira equação \lambda a=0 surgem duas possibilidades:
  1. \lambda\neq0 então a=0.
    Nesse caso p(x)=b x+c e a segunda equação dá 2\cdot0=\lambda b\Rightarrow b=0. Logo p(x)=c e da terceira equação b=\lambda c\Rightarrow0=\lambda c, forçando c=0. Isso leva só ao polinômio nulo, que não conta como autovetor. Portanto não há autovetor para \lambda\neq0.
  2. \lambda=0.
    Então as equações viram 0\cdot a=0 (sempre ok),
    2a = 0\cdot b \;\Longrightarrow\;2a=0\;\Longrightarrow\;a=0,
    e
    b = 0\cdot c \;\Longrightarrow\;b=0.
    Sobram polinômios p(x)=c com c\neq0. Esses satisfazem p'=0=\lambda p.

Resposta

O único autovalor é \lambda=0.
Os autovetores são exatamente os polinômios constantes não nulos:
p(x)=c,\quad c\neq0.

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