Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares e matrizes:
(d)
e
a derivada
(d)
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
dado por
onde
é o espaço dos polinômios de grau até 2. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor: queremos
e
tais que
Passo 2
Escrevemos um polinômio genérico de
:
com
. Então a sua derivada é
Passo 3
A condição de autovalor/autovetor
fica
Como são polinômios iguais, os coeficientes de cada monômio devem coincidir:
Passo 4
Da primeira equação
surgem duas possibilidades:
-
então .
Nesse casoe a segunda equação dá . Logo e da terceira equação , forçando . Isso leva só ao polinômio nulo, que não conta como autovetor. Portanto não há autovetor para . -
.
Então as equações viram(sempre ok), eSobram polinômioscom . Esses satisfazem .
Resposta
O único autovalor é
.
Os autovetores são exatamente os polinômios constantes não nulos:
Os autovetores são exatamente os polinômios constantes não nulos: