Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z) e as Bases \beta=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\} e \gamma=\{(1,3),(1,4)\}. Encontre [T]_{\gamma}^{\beta}, isto é, a matriz associada a T em relação às Bases \beta e \gamma.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z)=(2x+y-z,\;3x-2y+4z),
a base do domínio \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
v_{1}=(1,1,1),\;v_{2}=(1,1,0),\;v_{3}=(1,0,0),
e a base do contradomínio \gamma=\{w_{1},w_{2}\} com
w_{1}=(1,3),\;w_{2}=(1,4).
Queremos a matriz [T]_{\gamma}^{\beta}, cujas colunas são as coordenadas de T(v_{j}) na base \gamma.

Passo 2

Calcular T(v_{1})\) e escrever em \(\gamma\). \[T(v_{1})=T(1,1,1)=(2\cdot1+1-1,\;3\cdot1-2\cdot1+4\cdot1)=(2,5).
Procuramos a,b tais que
a\,w_{1}+b\,w_{2}=(2,5),\quad a(1,3)+b(1,4)=(2,5).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b=2,\\\\ 3a+4b=5, \end{cases}
cuja solução é a=3\], \(b=-1.
Logo [T(v_{1})]_{\gamma}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(v_{2})\) e escrever em \(\gamma\). \[T(v_{2})=T(1,1,0)=(2\cdot1+1-0,\;3\cdot1-2\cdot1+4\cdot0)=(3,1).
Resolvendo
a(1,3)+b(1,4)=(3,1)
vem
\begin{cases} a+b=3,\\\\ 3a+4b=1, \end{cases}
com solução a=11\], \(b=-8.
Assim [T(v_{2})]_{\gamma}=\begin{pmatrix}11\\\ -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(v_{3})\) e escrever em \(\gamma\). \[T(v_{3})=T(1,0,0)=(2\cdot1+0-0,\;3\cdot1-0+0)=(2,3).
Resolvendo
a(1,3)+b(1,4)=(2,3)
vem
\begin{cases} a+b=2,\\\\ 3a+4b=3, \end{cases}
cuja solução é a=5\], \(b=-3.
Logo [T(v_{3})]_{\gamma}=\begin{pmatrix}5\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de T em relação a \beta e \gamma tem colunas [T(v_{1})]_{\gamma}, [T(v_{2})]_{\gamma} e [T(v_{3})]_{\gamma}.
[T]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} 3 & 11 & 5\\\\ -1 & -8 & -3 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} 3 & 11 & 5\\\\ -1 & -8 & -3 \end{pmatrix}.

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