Determine:
A=(-2,1) e B=[-3,0] : \mathbf{C}{\mathbf{R}}^{A}, \mathbf{C}{\mathbf{R}}^{B}, \mathbf{C}{\mathbf{R}}^{(A \cap B)} e \mathbf{C}{\mathbf{R}}^{A} \cup \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá os subconjuntos de \mathbb{R}
A = (-2,1) \quad\text{e}\quad B = [-3,0]
e pede:
  1. \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A}, ou seja, o fecho de A em \mathbb{R}.
  2. \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B}, o fecho de B.
  3. \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{(A\cap B)}, o fecho da interseção.
  4. \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A}\cup \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B}, a união dos fechos.
    Para resolver usamos a ideia de fecho em \mathbb{R}: é o conjunto mais “pequeno” fechado que contém o conjunto dado, ou seja, junta todos os pontos do conjunto mais seus pontos-limite.

Passo 2

Como A é o intervalo aberto (-2,1), todos os pontos entre -2 e 1 já estão em A, mas -2 e 1 são pontos-limite que não pertencem. Logo o fecho de A adiciona esses extremos, ficando
\mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A} = [-2,\,1].

Passo 3

O conjunto B=[-3,0] já é fechado em \mathbb{R} (contém seus extremos e todos os pontos de acumulação). Portanto o fecho de B é ele próprio:
\mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B} = [-3,\,0].

Passo 4

Primeiro determinamos a interseção
A\cap B = (-2,1)\cap[-3,0] = (-2,\,0].
Esse conjunto é semiaberto à esquerda. Seus pontos-limite são -2 (não está lá) e todos os pontos de (-2,0] (já estão), então o fecho é
\mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{(A\cap B)} = [-2,\,0].

Passo 5

Finalmente, a união dos fechos encontrados em Passo 2 e Passo 3 é
\mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A}\cup \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B} = [-2,\,1]\;\cup\;[-3,\,0] = [-3,\,1].

Resposta

\mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A} = [-2,\,1] \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B} = [-3,\,0] \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{(A\cap B)} = [-2,\,0] \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{A}\cup \mathbf{C}_{\mathbf{R}}^{B} = [-3,\,1]

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