Encontre dy/dx por derivação implícita:
9 x^{2}+x y-y^{2}=4

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
9x^{2} + x\,y - y^{2} = 4
e pede \tfrac{dy}{dx} usando derivação implícita. Vamos usar as regras de derivação: regra do poder para x^{2} e y^{2}, regra do produto para x\,y e lembrar que y é função de x, então toda vez que derivamos algo em y aparece um fator \tfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • \tfrac{d}{dx}[9x^{2}] = 18x (regra do poder).
  • \tfrac{d}{dx}[x\,y] = x\cdot\tfrac{d}{dx}(y) + y\cdot\tfrac{d}{dx}(x) = x\,\tfrac{dy}{dx} + y.
  • \tfrac{d}{dx}[-y^{2}] = -2y\cdot\tfrac{dy}{dx} (regra da cadeia).
  • \tfrac{d}{dx}[4] = 0.
Somando tudo e igualando a zero, obtemos
18x + \bigl(x\,\tfrac{dy}{dx} + y\bigr) - 2y\,\tfrac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agora separamos os termos que têm \tfrac{dy}{dx} e os que não têm:
x\,\tfrac{dy}{dx} - 2y\,\tfrac{dy}{dx} + 18x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2y)\,\tfrac{dy}{dx} = -18x - y.

Passo 4

Isolando \tfrac{dy}{dx} basta dividir pelo fator (x - 2y):
\tfrac{dy}{dx} = \frac{-18x - y}{\,x - 2y\,} = -\frac{18x + y}{x - 2y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{18x + y}{x - 2y}.

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