Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{x^{6}} d x=\frac{-1}{5}\left[\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right]^{5}+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{3/2}}{x^{6}}\,dx.
O conteúdo usado aqui é o método de substituição: escolhemos uma boa variável auxiliar que transforme essa fração com potências em algo simples de integrar.

Passo 2

Definimos
u = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}.
Vamos calcular du. Primeiro note que \sqrt{1 - x^{2}} = (1 - x^{2})^{1/2}. Então
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl((1-x^{2})^{1/2}\cdot x^{-1}\Bigr) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,x^{-1} + (1 - x^{2})^{1/2}\,(-1)x^{-2}.
Reescrevendo,
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} = -\frac{x^{2} + (1 - x^{2})}{x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}} = -\frac{1}{x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}}.
Logo
du = -\frac{1}{x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\,x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}\,du.

Passo 3

Substituímos u e dx na integral original:
\int \frac{(1 - x^{2})^{3/2}}{x^{6}}\,dx = \int \frac{(1 - x^{2})^{3/2}}{x^{6}} \bigl(-x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}\,du\bigr).
Agrupando as potências de (1 - x^{2}) e de x:
= -\int \frac{(1 - x^{2})^{3/2 + 1/2}}{x^{6 - 2}}\,du = -\int \frac{(1 - x^{2})^{2}}{x^{4}}\,du.
Mas
\frac{(1 - x^{2})^{2}}{x^{4}} = \Bigl(\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}\Bigr)^{4} = u^{4}.
Portanto a integral em u fica
-\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{4} de forma direta:
-\int u^{4}\,du = -\frac{u^{5}}{5} + C.
Voltando à variável x, lembrando que u = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}, temos
-\frac{u^{5}}{5} + C = -\frac{1}{5}\Bigl[\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}\Bigr]^{5} + C.

Resposta

\int \frac{\bigl(1 - x^{2}\bigr)^{3/2}}{x^{6}}\,dx = -\frac{1}{5}\Bigl[\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}\Bigr]^{5} + C.

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