Encontre uma equação da reta tangente à curva 3 y^{4}+4 x-x^{2} \operatorname{sen} y-4=0 em (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
F(x,y)=3y^{4}+4x - x^{2}\sin y -4 = 0
e pede a reta tangente em (1,0). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para obter \frac{dy}{dx} e depois a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Definindo F(x,y)=3y^{4}+4x - x^{2}\sin y -4, calculamos as derivadas parciais:
F_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{4}+4x - x^{2}\sin y -4\bigr) =4 - 2x\sin y,
F_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{4}+4x - x^{2}\sin y -4\bigr) =12y^{3} - x^{2}\cos y.

Passo 3

Em (1,0) temos \sin0=0 e \cos0=1, logo
F_{x}(1,0)=4 - 2\cdot1\cdot0 = 4, \qquad F_{y}(1,0)=12\cdot0^{3} - 1^{2}\cdot1 = -1.
Pela diferenciação implícita,
F_{x} + F_{y}\,\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{F_{x}}{F_{y}} = -\frac{4}{-1} = 4.

Passo 4

A reta tangente em (x_{0},y_{0})=(1,0) com coeficiente angular m=4 é
y - 0 = 4\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = 4x - 4.

Resposta

y = 4x - 4

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