Determine os valores de x \in \mathbb{R} para os quais a função f(x)=2 x+\left|x^{2}-2\right| é derivável.
Passo 1
O enunciado pede para achar os x\in\mathbb{R} em que a função
f(x)=2x+\bigl|x^2-2\bigr|
é derivável. O ponto chave é lembrar que \lvert u\rvert só pode falhar em ser derivável quando u=0. Aqui u(x)=x^2-2, então primeiro vamos achar onde u(x)=0 e em seguida determinar derivadas à esquerda e à direita nesses pontos.
Passo 2
Resolvendo x^2-2=0 obtemos
x^2=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Isso divide \mathbb{R} em três regiões onde o sinal de x^2-2 é constante: