Determine os valores de x \in \mathbb{R} para os quais a função f(x)=2 x+\left|x^{2}-2\right| é derivável.

Passo 1

O enunciado pede para achar os x\in\mathbb{R} em que a função
f(x)=2x+\bigl|x^2-2\bigr|
é derivável. O ponto chave é lembrar que \lvert u\rvert só pode falhar em ser derivável quando u=0. Aqui u(x)=x^2-2, então primeiro vamos achar onde u(x)=0 e em seguida determinar derivadas à esquerda e à direita nesses pontos.

Passo 2

Resolvendo x^2-2=0 obtemos
x^2=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Isso divide \mathbb{R} em três regiões onde o sinal de x^2-2 é constante:
\begin{cases} x^2-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad |x|>\sqrt2,\\\ x^2-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\sqrt2. \end{cases}
Logo, em cada região escrevemos
f(x)= \begin{cases} 2x + (x^2-2),&|x|>\sqrt2,\\\\ 2x + \bigl(-(x^2-2)\bigr)=2x+2 -x^2,&|x|<\sqrt2. \end{cases}

Passo 3

Como em cada trecho f é um polinômio, ela é derivável nesses intervalos internos. Vamos então calcular
f'(x)= \begin{cases} 2 + 2x,&|x|>\sqrt2,\\\\ 2 - 2x,&|x|<\sqrt2. \end{cases}

Passo 4

Restam apenas os pontos x=\pm\sqrt2. Para verificar derivabilidade aí, comparamos a derivada à esquerda f'_{-} e à direita f'_{+}.
  1. Em x=\sqrt2:
f'_{-}(\sqrt2)=\bigl(2-2x\bigr)\big|_{x=\sqrt2} =2-2\sqrt2, \quad f'_{+}(\sqrt2)=\bigl(2+2x\bigr)\big|_{x=\sqrt2} =2+2\sqrt2.
Como 2-2\sqrt2\neq 2+2\sqrt2, não é derivável em x=\sqrt2.
  1. Em x=-\sqrt2:
f'_{-}(-\sqrt2)=\bigl(2+2x\bigr)\big|_{x=-\sqrt2} =2-2\sqrt2, \quad f'_{+}(-\sqrt2)=\bigl(2-2x\bigr)\big|_{x=-\sqrt2} =2+2\sqrt2.
De novo 2-2\sqrt2\neq2+2\sqrt2, logo não é derivável em x=-\sqrt2.

Resposta

A função f é derivável em todos os x\in\mathbb{R} exceto em x=\pm\sqrt2.

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