Determine a e b de modo que ax-1+bx+1=5 x+1x^2-1.
(x neq 1 e x neq-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
ax - 1 + bx + 1 = 5x + 1x^2 - 1
O conteúdo que vamos usar aqui é de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples. Vamos precisar encontrar os valores de a e b que fazem essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que o denominador do lado direito, x^2 - 1, pode ser fatorado. Sabemos que:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Isso vai ajudar a encontrar um denominador comum para somar as frações do lado esquerdo.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as frações do lado esquerdo com o denominador comum x^2 - 1:
ax - 1 + bx + 1 = a(x + 1) + b(x - 1)(x - 1)(x + 1)
Assim, nossa equação fica:
a(x + 1) + b(x - 1)x^2 - 1 = 5x + 1x^2 - 1

Passo 4

Como os denominadores são iguais, a gente pode igualar os numeradores:
a(x + 1) + b(x - 1) = 5x + 1
Vamos expandir isso:
a x + a + b x - b = 5x + 1

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
(a + b)x + (a - b) = 5x + 1
Isso significa que os coeficientes dos termos com x e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + b = 5 a - b = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos as duas equações:
(a + b) + (a - b) = 5 + 1 2a = 6 a = 3
Agora, substituímos a = 3 na primeira equação:
3 + b = 5 b = 2

Resposta

Os valores são a = 3 e b = 2.

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