Determine a, b, e c para que a seguinte matriz seja simétrica:
[ccc 29 & 1 & -1 12 a-b+32 c & raiz2 & -2 2 a+12 b+c & a+c & 9 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve matrizes simétricas. O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de a , b e c que fazem a matriz dada ser simétrica. Uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, os elementos aij são iguais a aji para todos os i e j . Vamos precisar igualar os elementos correspondentes da matriz original e da transposta para encontrar a , b e c .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz M é simétrica se M = M^T , onde M^T é a transposta de M . Isso quer dizer que o elemento na posição (i, j) deve ser igual ao elemento na posição (j, i) .

Passo 3

Vamos escrever a matriz dada e sua transposta:
Matriz original:
29 & 1 & -1 12 a - b + 32 c & raiz2 & -2 2a + 12 b + c & a + c & 9
Transposta da matriz:
29 & 12 a - b + 32 c & 2a + 12 b + c 1 & raiz2 & a + c -1 & -2 & 9

Passo 4

Agora, vamos igualar os elementos correspondentes da matriz original e da transposta:
  1. M12 = M21 :
1 = 12 a - b + 32 c
  1. M13 = M31 :
-1 = 2a + 12 b + c
  1. M23 = M32 :
-2 = a + c

Passo 5

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
12 a - b + 32 c = 1 2a + 12 b + c = -1 a + c = -2
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação, podemos expressar a em função de c :
a = -2 - c
Vamos substituir esse valor de a nas outras duas equações.

Passo 7

Substituindo a = -2 - c na primeira equação:
12 (-2 - c) - b + 32 c = 1
Simplificando:
-1 - 12 c - b + 32 c = 1 -1 + c - b = 1 c - b = 2
Isso dá:
b = c - 2

Passo 8

Agora, substituindo a = -2 - c e b = c - 2 na segunda equação:
2(-2 - c) + 12(c - 2) + c = -1
Simplificando:
-4 - 2c + 12c - 1 + c = -1 -5 - 12c = -1
Adicionando 5 aos dois lados:
- 12c = 4
Multiplicando ambos os lados por -2:
c = -8

Passo 9

Com c = -8 , podemos encontrar a e b :
a = -2 - c = -2 - (-8) = 6
b = c - 2 = -8 - 2 = -10

Resposta

Portanto, os valores são:
a = 6, b = -10, c = -8

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