Determine , e para que a seguinte matriz seja simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve matrizes simétricas. O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de a , b e c que fazem a matriz dada ser simétrica. Uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, os elementos aij são iguais a aji para todos os i e j . Vamos precisar igualar os elementos correspondentes da matriz original e da transposta para encontrar a , b e c .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz M é simétrica se M = M^T , onde M^T é a transposta de M . Isso quer dizer que o elemento na posição (i, j) deve ser igual ao elemento na posição (j, i) .
Passo 3
Vamos escrever a matriz dada e sua transposta:
Matriz original:
29 & 1 & -1 12 a - b + 32 c & raiz2 & -2 2a + 12 b + c & a + c & 9
Transposta da matriz:
29 & 12 a - b + 32 c & 2a + 12 b + c 1 & raiz2 & a + c -1 & -2 & 9
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes da matriz original e da transposta:
M12 = M21 :
1 = 12 a - b + 32 c
M13 = M31 :
-1 = 2a + 12 b + c
M23 = M32 :
-2 = a + c
Passo 5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
12 a - b + 32 c = 1 2a + 12 b + c = -1 a + c = -2
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 6
Primeiro, da terceira equação, podemos expressar a em função de c :
a = -2 - c
Vamos substituir esse valor de a nas outras duas equações.
Passo 7
Substituindo a = -2 - c na primeira equação:
12 (-2 - c) - b + 32 c = 1
Simplificando:
-1 - 12 c - b + 32 c = 1 -1 + c - b = 1 c - b = 2
Isso dá:
b = c - 2
Passo 8
Agora, substituindo a = -2 - c e b = c - 2 na segunda equação: