Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico:
da elipse de extremidades do eixo menor (0, pm 4), e o comprimento L=85 da corda perpendicular ao eixo maior da elipse e que passa por um dos focos

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço da elipse que tem extremidades do eixo menor em (0,pm4) e cuja corda perpendicular ao eixo maior, passando por um dos focos, mede L=tfrac85. O conteúdo aqui é a geometria da elipse em forma padrão e o cálculo de comprimentos de cordas.

Passo 2

Como as extremidades do eixo menor são (0,pm4), temos semieixo menor
b = 4
e a elipse, centrada na origem com eixo maior ao longo de x, tem forma padrão
x^2a^2 + y^2b^2 = 1

Passo 3

Os focos ficam em (pm c,0) com
c = raiza^2 - b^2
A corda perpendicular ao eixo maior e que passa por um foco x=c é a interseção da reta x=c com a elipse. Substituindo x=c na equação da elipse:
c^2a^2 + y^2b^2 = 1 Longrightarrow y^2b^2 = 1 - c^2a^2 = 1 - a^2 - b^2a^2 = b^2a^2,
logo
y = pm b^2a
O comprimento dessa corda é
L = 2b^2a

Passo 4

Igualando ao valor dado L=tfrac85:
2b^2a = 85 Longrightarrow a = 2,b^2L = 216tfrac85 = 32cdot58 = 20

Passo 5

Temos então
a = 20, b = 4, c = raiz20^2 - 4^2 = raiz384 = 8raiz6
A equação final da elipse é
x^2400 + y^216 = 1
Esboço do gráfico:
  • Centro na origem.
  • Semieixo maior a=20 ao longo do eixo x: extremidades em (pm20,0).
  • Semieixo menor b=4 ao longo do eixo y: extremidades em (0,pm4).
  • Focos em (pm8raiz6,0).
  • A corda em x=8raiz6 tem extremidades l(8raiz6,pmtfrac4^220r)=(8raiz6,pmtfrac45), com comprimento tfrac85.

Resposta

Equação:
x^2400 + y^216 = 1
Gráfico:
Elipse centralizada na origem, com semieixos a=20 (eixo x) e b=4 (eixo y), focos em (pm8raiz6,0), e corda perpendicular ao eixo maior em x=8raiz6 de comprimento 8/5.

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