Determine se b é combinação linear dos vetores formados pelas colunas da matriz .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor b=[3;-7;-3]^T pode ser escrito como combinação linear das colunas de A. Isso equivale a checar se existe x=(x1,x2,x3)^T tal que A x=b. Vamos usar sistemas lineares e eliminação por substituição.
Passo 2
Escrevemos o sistema linear correspondente a A x=b:
[ x1 - 4x2 + 2x3 = 3 3x2 + 5x3 = -7 -2x1 + 8x2 - 4x3 = -3 ]
Passo 3
Da segunda equação isolamos x2 em função de x3:
[ x_2 = \frac{-7 - 5x_3}{3} ]
Passo 4
Substituímos x2 na primeira equação e resolvemos para x1:
[ x_1 = 3 + 4x_2 - 2x_3 ]
Passo 5
Agora inserimos as expressões de x1 e x2 na terceira equação e simplificamos:
[ -2\bigl(3 + 4x_2 - 2x_3\bigr) + 8x_2 - 4x_3 = -3 \implies -6 = -3 ]
Como obtemos uma contradição, o sistema é inconsistente.
Passo 6
Como não existe solução para A x=b, concluímos que b não está no espaço gerado pelas colunas de A e, portanto, não é combinação linear dessas colunas.