- Problema 5.33 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Seja
tal que existe
com:
- Mostre que
é contínua;
- Mostre que a sequência
converge para um ponto
;
- Mostre que
(ponto fixo);
- Mostre que o ponto fixo é único.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
tal que existe
com
O conteúdo é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que usa a noção de aplicação contrátil e completude de
. Vamos mostrar (a) continuidade de
, (b) convergência da sequência
, (c) que o limite é ponto fixo e (d) unicidade desse ponto.
Passo 2
Para mostrar que
é contínua em um ponto arbitrário
, dado
queremos
tal que
implique
. Usando a propriedade contrátil:
Basta escolher
. Como
, quando
vem
logo
é contínua em todo
.
Passo 3
Definimos
a partir de um
qualquer. Vamos mostrar que
é de Cauchy. Para
,
Em particular, note que a distância entre termos distantes é majorada por
Como
,
quando
, logo
é de Cauchy em
. Como
é completo, existe
Passo 4
Para ver que
é ponto fixo, usamos a recorrência
e continuidade de
. Fazendo
,
Portanto,
.
Passo 5
Suponha que exista outro ponto fixo
tal que
. Então
Como
, isso implica
, logo
e
. Assim, o ponto fixo é único.
Resposta
Concluímos que
.
é contínua em
.
. A sequência definida por
é de Cauchy e converge para algum
.
. Esse limite satisfaz
, ou seja, é ponto fixo.
. Não pode haver outro ponto fixo além de
, garantindo unicidade.