• Problema 5.33 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Seja f: R R tal que existe 0<k<1 com:
|f(x)-f(y)| <= k|x-y|, forall x, y in R
  1. Mostre que f é contínua;
  2. Mostre que a sequência xn+1=f(xn) converge para um ponto x^* in R;
  3. Mostre que f(x^*)=x^* (ponto fixo);
  4. Mostre que o ponto fixo é único.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos f:RtoR tal que existe 0<k<1 com
|f(x)-f(y)|<= k,|x-y|,forall x,yinR
O conteúdo é o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que usa a noção de aplicação contrátil e completude de R. Vamos mostrar (a) continuidade de f, (b) convergência da sequência xn+1=f(xn), (c) que o limite é ponto fixo e (d) unicidade desse ponto.

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em um ponto arbitrário x0, dado varepsilon>0 queremos de<a>0 tal que |x-x0|<de<a implique |f(x)-f(x0)|<varepsilon. Usando a propriedade contrátil:
|f(x)-f(x0)|<= k,|x-x0|
Basta escolher de<a=varepsilon/k. Como k>0, quando |x-x0|<de<a vem
|f(x)-f(x0)|<= k,|x-x0|<k,varepsilonk=varepsilon,
logo f é contínua em todo R.

Passo 3

Definimos xn+1=f(xn) a partir de um x0 qualquer. Vamos mostrar que (xn) é de Cauchy. Para m>n,
|xm - xn| =|f(xm-1)-f(xn-1)| <= k,|xm-1-xn-1| <= k^2,|xm-2-xn-2| <=cdots<= k^n,|xm-n-x0|
Em particular, note que a distância entre termos distantes é majorada por
|xm - xn|<= k^n,D, D=max0<= i< n|xi+1-xi| <infty
Como 0<k<1, k^nDto0 quando ntoinfty, logo (xn) é de Cauchy em R. Como R é completo, existe
x^*=limntoinftyxn

Passo 4

Para ver que x^* é ponto fixo, usamos a recorrência xn+1=f(xn) e continuidade de f. Fazendo ntoinfty,
x^*=limntoinftyxn+1 =limntoinftyf(xn) =fl(limntoinftyxnr) =f(x^*)
Portanto, f(x^*)=x^*.

Passo 5

Suponha que exista outro ponto fixo y^*neq x^* tal que f(y^*)=y^*. Então
|x^*-y^*|=|f(x^*)-f(y^*)|<= k,|x^*-y^*|
Como 0<k<1, isso implica (1-k)|x^*-y^*|<=0, logo |x^*-y^*|=0 e x^*=y^*. Assim, o ponto fixo é único.

Resposta

Concluímos que
1. f é contínua em R.
2. A sequência definida por xn+1=f(xn) é de Cauchy e converge para algum x^*inR.
3. Esse limite satisfaz f(x^*)=x^*, ou seja, é ponto fixo.
4. Não pode haver outro ponto fixo além de x^*, garantindo unicidade.

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