• Problema 5.31. Mostre que existe função contínua F:[0,1] R cuja derivada existe e vale zero quase em toda parte, mas que não é constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que há uma função contínua F:[0,1]toR tal que F' existe e vale zero quase em toda parte, mas F não é constante. O conteúdo envolve construção de funções singulares, em particular a função de Cantor, e uso do fato de que o conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue zero.

Passo 2

Definimos o conjunto de Cantor C por subdivisões sucessivas de [0,1]: seja
C0=[0,1], Cn+1= obtido de Cn removendo-se o terço médio de cada intervalo de Cn çé
Então
C=capn=0^inftyCn
Sabe-se que lambda(C)=0, onde lambda é a medida de Lebesgue, e que o complemento de C é união contável de intervalos abertos.

Passo 3

Construímos a função de Cantor
onde cada . Se houver ambiguidade (termina em sequência infinita de s), escolha a expansão que termina em s após algum ponto. Defina dígitos binários por
e ignore os casos ). Finalmente, defina

Passo 4

Mostramos que F é bem-definida e contínua: em cada intervalo removido no passo n, todos os x têm as mesmas primeiras n casas ternárias, logo \emph{os b1ldots bn são iguais} e F é constante no interior desse intervalo. Assim F é monotônica não decrescente e, como limite uniforme de funções constantes por partes, é contínua. Como F(0)=0 e F(1)=1, concluímos que F não é constante.

Passo 5

Para x no interior de cada intervalo removido (o complemento de C), F é localmente constante, logo F'(x)=0 nesses pontos. Como o complemento de C tem medida de Lebesgue 1-0=1, segue que F'(x)=0 quase em toda parte de [0,1], e F' existe nesses pontos. Nos pontos de C podem ocorrer saltos de derivada ou não existir, mas isso não afeta a condição quase-toda-parte.

Resposta

A função de Cantor F definida acima é contínua em [0,1], F'(x)=0 quase em toda parte, mas F não é constante.

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