Problema 5.31. Mostre que existe função contínua cuja derivada existe e vale zero quase em toda parte, mas que não é constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que há uma função contínua tal que existe e vale zero quase em toda parte, mas não é constante. O conteúdo envolve construção de funções singulares, em particular a função de Cantor, e uso do fato de que o conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue zero.
Passo 2
Definimos o conjunto de Cantor por subdivisões sucessivas de : seja
Então
Sabe-se que , onde é a medida de Lebesgue, e que o complemento de é união contável de intervalos abertos.
Passo 3
Construímos a função de Cantor
onde cada . Se houver ambiguidade (termina em sequência infinita de s), escolha a expansão que termina em s após algum ponto. Defina dígitos binários por
e ignore os casos ). Finalmente, defina
Passo 4
Mostramos que F é bem-definida e contínua: em cada intervalo removido no passo n, todos os x têm as mesmas primeiras n casas ternárias, logo \emph{os b1ldots bn são iguais} e F é constante no interior desse intervalo. Assim F é monotônica não decrescente e, como limite uniforme de funções constantes por partes, é contínua. Como F(0)=0 e F(1)=1, concluímos que F não é constante.
Passo 5
Para x no interior de cada intervalo removido (o complemento de C), F é localmente constante, logo F'(x)=0 nesses pontos. Como o complemento de C tem medida de Lebesgue 1-0=1, segue que F'(x)=0 quase em toda parte de [0,1], e F' existe nesses pontos. Nos pontos de C podem ocorrer saltos de derivada ou não existir, mas isso não afeta a condição quase-toda-parte.
Resposta
A função de Cantor F definida acima é contínua em [0,1], F'(x)=0 quase em toda parte, mas F não é constante.