Determine a e b para que o grafico da função definida por (x) = ax² + bx + 5, a ≠ 0, tenha vértice no ponto (3, -4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + 5 $ e precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que o gráfico dessa função tenha o vértice no ponto $ (3, -4) $. Vamos usar conhecimentos sobre funções quadráticas e a fórmula do vértice para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o vértice de uma função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ está no ponto $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) $. No nosso caso, o vértice é $ (3, -4) $, então temos que:
f(x) = ax^2 + bx + c
E o valor de $ f(3) = -4 $.

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para $ b $:
b
Agora, já sabemos que $ b = -6a $.

Passo 4

Agora vamos usar o fato de que $ f(3) = -4 $. Substituindo $ x = 3 $ na função:
f(3) = -4
Simplificando:
x = 3

Passo 5

Sabemos que $ b = -6a $, então substituímos na equação:
b = -6a
9a + 3(-6a) + 5 = -4
9a - 18a + 5 = -4

Passo 6

Resolvendo para $ a $:
a
-9a = -4 - 5

Passo 7

Agora que sabemos que $ a = 1 $, substituímos de volta para encontrar $ b $:
a = 1

Resposta

Os valores são $ a = 1 $ e $ b = -6 $.

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