Determine a, b \in \mathbb{R} tal que a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\sqrt{2-x} & \text { se } x<1, \\\ a x+b & \text { se } 1 \leq x<2, \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right| & \text { se } x \geq 2,\end{array} \quad\right. seja contínua.
e pede que ela seja contínua em \mathbb R. Para funções definidas por trechos, basta garantir continuidade nos pontos em que muda a definição, aqui em x=1 e x=2.
Passo 2
Em x=1 as condições de continuidade exigem
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Como para x<1 vale \,f(x)=-\sqrt{2-x}, temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\sqrt{2-1}=-1.
Para x\ge1 (e x<2) vale f(x)=ax+b, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=a\cdot1+b=a+b.
Logo a primeira equação é
a+b=-1.
Passo 3
Em x=2 precisamos de
\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2),
onde \lim_{x\to2^-}f(x) vem do trecho ax+b e vale
2a+b.
Já f(2) é dado pelo trecho \lvert x^2-7x+12\rvert, então