Determine a, b \in \mathbb{R} tal que a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\sqrt{2-x} & \text { se } x<1, \\\ a x+b & \text { se } 1 \leq x<2, \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right| & \text { se } x \geq 2,\end{array} \quad\right. seja contínua.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= \begin{cases} -\sqrt{2-x},&x<1,\\\ ax+b,&1\le x<2,\\\ \lvert x^2-7x+12\rvert,&x\ge2, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em \mathbb R. Para funções definidas por trechos, basta garantir continuidade nos pontos em que muda a definição, aqui em x=1 e x=2.

Passo 2

Em x=1 as condições de continuidade exigem
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Como para x<1 vale \,f(x)=-\sqrt{2-x}, temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\sqrt{2-1}=-1.
Para x\ge1 (e x<2) vale f(x)=ax+b, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=a\cdot1+b=a+b.
Logo a primeira equação é
a+b=-1.

Passo 3

Em x=2 precisamos de
\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2),
onde \lim_{x\to2^-}f(x) vem do trecho ax+b e vale
2a+b.
f(2) é dado pelo trecho \lvert x^2-7x+12\rvert, então
f(2)=\bigl|2^2-7\cdot2+12\bigr|=\lvert4-14+12\rvert=\lvert2\rvert=2.
Isso gera a segunda equação
2a+b=2.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a+b=-1,\\\\ 2a+b=2, \end{cases}
subtraímos a primeira da segunda e obtemos a=3. Substituindo em a+b=-1 b=-4.

Resposta

a=3 e b=-4.

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