Exercício 10. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
. O método aqui é usar integração dupla iterada (Teorema de Fubini): primeiro descrevemos
em termos de desigualdades para
e
, depois escolhemos uma ordem de integração e computamos o integral.
Passo 2
Vamos entender a forma de
encontrando os vértices das interseções:
- Intersecção de
com é . - Intersecção de
com dá , ponto . - Intersecção de
com dá , ou seja , ponto .
Isso mostra queé o triângulo de vértices , e . Nele, vemos que
Passo 3
Escolhendo a ordem
, escrevemos
Dentro do parêntese,
é constante em relação a
, logo
Passo 4
Substituindo no integral exterior, fica