Exercício 10. Calcule \iint_{D} x d x d y, onde D a região limitada por y=0, x=0 e y=x+1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\iint_{D} x \,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas retas y=0, x=0 e y=x+1. O método aqui é usar integração dupla iterada (Teorema de Fubini): primeiro descrevemos D em termos de desigualdades para x e y, depois escolhemos uma ordem de integração e computamos o integral.

Passo 2

Vamos entender a forma de D encontrando os vértices das interseções:
  1. Intersecção de y=0 com x=0 é (0,0).
  2. Intersecção de x=0 com y=x+1 y=1, ponto (0,1).
  3. Intersecção de y=0 com y=x+1 0=x+1, ou seja x=-1, ponto (-1,0).
    Isso mostra que D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,0) e (0,1). Nele, vemos que
-1\le x\le 0, \qquad 0\le y\le x+1.

Passo 3

Escolhendo a ordem \,dy\,dx, escrevemos
\iint_{D} x\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{0} \Bigl(\int_{y=0}^{x+1} x\,dy\Bigr) dx.
Dentro do parêntese, x é constante em relação a y, logo
\int_{y=0}^{x+1} x\,dy = x\,(x+1).

Passo 4

Substituindo no integral exterior, fica
\int_{x=-1}^{0} x\,(x+1)\,dx = \int_{-1}^{0} \bigl(x^2 + x\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} = \bigl(0\bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}\Bigr) = -\Bigl(\tfrac{-2+3}{6}\Bigr) = -\tfrac{1}{6}.

Resposta

-\tfrac{1}{6}

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