Exercício 9. Calcule \iint_{D} x d x d y, onde D a região limitada por y=0, x=0 e y=1-x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x \,dx\,dy
onde D é a região do plano limitada pelas retas y=0, x=0 e y=1-x.
O conteúdo necessário é descrição de região para integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Para descrever D, note que x\ge0, y\ge0 e y\le1-x. Isso significa que x varia de 0 até 1 e, para cada x fixo, y varia de 0 até 1 - x. Logo
D = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1-x\bigr\}.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{D} x \,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\!\Bigl(\int_{y=0}^{1-x} x \,dy\Bigr)dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y, tratando x como constante:
\int_{y=0}^{1-x} x \,dy = x\bigl[y\bigr]_{0}^{1-x} = x(1-x).

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1} x(1-x)\,dx =\int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac13 =\tfrac16.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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