Determine a e b para que a matriz \left[\begin{array}{rrr}2 & 4 & 2 a-b \\\ a+b & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right] seja simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a e b de modo que a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2a - b\\\ a + b & 3 & 0\\\\ -1 & 0 & 5 \end{pmatrix}
seja simétrica. Uma matriz é simétrica se e somente se A_{ij} = A_{ji} para todo par (i,j).

Passo 2

Comparando entradas fora da diagonal principal:
  1. Na posição (1,2) e (2,1):
A_{12} = 4, \quad A_{21} = a + b \quad\Longrightarrow\quad a + b = 4.
  1. Na posição (1,3) e (3,1):
A_{13} = 2a - b, \quad A_{31} = -1 \quad\Longrightarrow\quad 2a - b = -1.

Passo 3

Temos o sistema
\begin{cases} a + b = 4,\\\\ 2a - b = -1. \end{cases}
Somando as duas equações:
(a + b) + (2a - b) = 4 + (-1) \quad\Longrightarrow\quad 3a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.
Substituindo em a + b = 4:
1 + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.

Resposta

a = 1 e b = 3.

Exercícios relacionados