Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz
\left[\begin{array}{ccc}2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1\end{array}\right] seja antissimétrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 2x & a+b & a-2b\\\\ -6 & y^2 & 2c\\\\ 5 & 8 & z-1 \end{pmatrix}
e pede valores de a,b,c,x,y,z para que M seja antissimétrica, ou seja,
M^T = -M.
Isso implica duas condições principais:
  1. Na diagonal, todo elemento deve ser zero ( M_{ii}=0).
  2. Fora da diagonal, M_{ij} = -\,M_{ji}.

Passo 2

Aplicando M_{11}=0:
2x = 0
Logo
x = 0.
Aplicando M_{22}=0:
y^2 = 0
Logo
y = 0.
Aplicando M_{33}=0:
z - 1 = 0
Logo
z = 1.

Passo 3

Agora usamos as condições fora da diagonal. Para i=1, j=2:
M_{12} = a+b,\quad M_{21} = -6,\quad M_{12} = -\,M_{21}
Logo
a + b = -(-6) = 6.

Passo 4

Para i=1, j=3:
M_{13} = a-2b,\quad M_{31} = 5,\quad a-2b = -5.
Para i=2, j=3:
M_{23} = 2c,\quad M_{32} = 8,\quad 2c = -8
Logo
c = -4.

Passo 5

Restam as duas equações em a e b:
\begin{cases} a + b = 6,\\\ a - 2b = -5. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(a+b) - (a-2b) = 6 - (-5)\;\Longrightarrow\;3b = 11\;\Longrightarrow\;b = \frac{11}{3}.
Então
a = 6 - b = 6 - \tfrac{11}{3} = \tfrac{7}{3}.

Resposta

a = \tfrac{7}{3},\quad b = \tfrac{11}{3},\quad c = -4,\quad x = 0,\quad y = 0,\quad z = 1.

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