Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz \left[\begin{array}{ccc}2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1\end{array}\right] seja antissimétrica. Passo 1O enunciado dá a matriz M = \begin{pmatrix} 2x & a+b & a-2b\\\\ -6 & y^2 & 2c\\\\ 5 & 8 & z-1 \end{pmatrix} e pede valores de a,b,c,x,y,z para que M seja antissimétrica, ou seja, M^T = -M. Isso implica duas condições principais: Na diagonal, todo elemento deve ser zero ( M_{ii}=0). Fora da diagonal, M_{ij} = -\,M_{ji}. Passo 2Aplicando M_{11}=0: 2x = 0 Logo x = 0. Aplicando M_{22}=0: y^2 = 0 Logo y = 0. Aplicando M_{33}=0: z - 1 = 0 Logo z = 1. Passo 3Agora usamos as condições fora da diagonal. Para i=1, j=2: M_{12} = a+b,\quad M_{21} = -6,\quad M_{12} = -\,M_{21} Logo a + b = -(-6) = 6. Passo 4Para i=1, j=3: M_{13} = a-2b,\quad M_{31} = 5,\quad a-2b = -5. Para i=2, j=3: M_{23} = 2c,\quad M_{32} = 8,\quad 2c = -8 Logo c = -4. Passo 5Restam as duas equações em a e b: \begin{cases} a + b = 6,\\\ a - 2b = -5. \end{cases} Subtraindo a segunda da primeira: (a+b) - (a-2b) = 6 - (-5)\;\Longrightarrow\;3b = 11\;\Longrightarrow\;b = \frac{11}{3}. Então a = 6 - b = 6 - \tfrac{11}{3} = \tfrac{7}{3}. Resposta a = \tfrac{7}{3},\quad b = \tfrac{11}{3},\quad c = -4,\quad x = 0,\quad y = 0,\quad z = 1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a e b para que a matriz \left[\begin{array}{rrr}2 & 4 & 2 a-b \\\ a+b & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right] seja simétrica. Obtenha a transposta da matriz A \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R}), A=\left(a_{i j}\right), tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}2 i+j, \text { se } i=j \\\ i^{2}-j, \text { se } i \neq j\end{array}\right. Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], e C=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 1\end{array}\right]. Determine a matriz X em cada caso: X=2 A-3 B Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], e C=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 1\end{array}\right]. Determine a matriz X em cada caso: X+A=B-C^{T}-2 X