Obtenha a transposta da matriz A \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R}), A=\left(a_{i j}\right), tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}2 i+j, \text { se } i=j \\\ i^{2}-j, \text { se } i \neq j\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece uma matriz A\in M_{2\times 4}(\mathbb{R})\) cujos elementos são \[a_{ij} = \begin{cases} 2i + j, & \text{se }i=j,\\\ i^{2} - j, & \text{se }i\neq j. \end{cases}
O objetivo é encontrar a transposta A^T\]. Para isso precisamos (1) calcular todos os \(a_{ij} de A e (2) aplicar a definição (A^T)_{ji}=a_{ij}.

Passo 2

Calcular os elementos de A para i=1,2 e j=1,2,3,4:
Para i=1:
  • j=1 (igual): a_{11}=2\cdot1+1=3.
  • j=2 (diferente): a_{12}=1^{2}-2=-1.
  • j=3 (diferente): a_{13}=1^{2}-3=-2.
  • j=4 (diferente): a_{14}=1^{2}-4=-3.
Para i=2:
  • j=1 (diferente): a_{21}=2^{2}-1=3.
  • j=2 (igual): a_{22}=2\cdot2+2=6.
  • j=3 (diferente): a_{23}=2^{2}-3=1.
  • j=4 (diferente): a_{24}=2^{2}-4=0.

Passo 3

Escrevendo A como matriz 2\times4:
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & -3\\\\ 3 & 6 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Pela definição de transposta, (A^T)_{ji}=a_{ij}. Logo A^T é uma matriz 4\times2 cujas linhas são as colunas de A:
A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21}\\\ a_{12} & a_{22}\\\ a_{13} & a_{23}\\\ a_{14} & a_{24} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\\\ -1 & 6\\\\ -2 & 1\\\\ -3 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A^T = \begin{pmatrix} 3 & 3\\\\ -1 & 6\\\\ -2 & 1\\\\ -3 & 0 \end{pmatrix}

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