O que o enunciado pede: determinar os valores de b_{1},b_{2},b_{3}\) para os quais o sistema
\[\begin{cases} x+y+3z=b_{1}\\[4pt] 2x+2y-z=b_{2}\\[4pt] 4x+4y+5z=b_{3} \end{cases}
onde o sistema pode ser escrito como (A\mathbf{x}=\mathbf{b}].]
Passo 2
Condição teórica (explicadinha): um sistema linear quadrado A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem solução única exatamente quando a matriz dos coeficientes A é invertível. Uma forma prática de verificar invertibilidade é calcular o determinante de A: se \det(A)\neq 0, então A é invertível e há solução única; se \det(A)=0, então A é singular e não existe solução única (pode haver infinitas ou nenhuma, dependendo de \mathbf{b}). Vou usar essa propriedade.
Passo 3
Observação simples e poderosa: duas colunas iguais implicam determinante zero. Olhando a matriz A vemos que a segunda coluna é igual à primeira:
Conclusão matemática e interpretação para a prova: como \det(A)=0, a matriz de coeficientes não é invertível, logo o sistema nunca terá solução única. Dependendo de \mathbf{b} o sistema pode ter infinitas soluções (se \mathbf{b} estiver no espaço coluna de A) ou nenhuma solução (se \mathbf{b} não estiver no espaço coluna de A), mas em nenhum caso haverá exatamente uma solução.
Resposta
Nenhum (b_{1},b_{2},b_{3}) — o sistema nunca tem solução única, pois \det(A)=0.