Determine b_{1}, b_{2} e b_{3} para os quais o sistema a seguir possua única solução:
\left\{\begin{array}{l} x+y+3 z=b_{1} \\\\ 2 x+2 y-z=b_{2} \\\\ 4 x+4 y+5 z=b_{3} \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os valores de b_{1},b_{2},b_{3}\) para os quais o sistema \[\begin{cases} x+y+3z=b_{1}\\[4pt] 2x+2y-z=b_{2}\\[4pt] 4x+4y+5z=b_{3} \end{cases}
possua única solução.
Informações dadas que importam:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\[2pt]2 & 2 & -1\\[2pt]4 & 4 & 5\end{pmatrix} ,\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} ,\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\[2pt]b_{2}\\[2pt]b_{3}\end{pmatrix},
onde o sistema pode ser escrito como (A\mathbf{x}=\mathbf{b}].]

Passo 2

Condição teórica (explicadinha): um sistema linear quadrado A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem solução única exatamente quando a matriz dos coeficientes A é invertível. Uma forma prática de verificar invertibilidade é calcular o determinante de A: se \det(A)\neq 0, então A é invertível e há solução única; se \det(A)=0, então A é singular e não existe solução única (pode haver infinitas ou nenhuma, dependendo de \mathbf{b}). Vou usar essa propriedade.

Passo 3

Observação simples e poderosa: duas colunas iguais implicam determinante zero. Olhando a matriz A vemos que a segunda coluna é igual à primeira:
\text{coluna 1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]4\end{pmatrix}, \qquad \text{coluna 2}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Como duas colunas de A coincidem, temos imediatamente \det(A)=0. Isso por si só já impede existência de solução única para qualquer \mathbf{b}.]

Passo 4

Para confirmar com cálculo direto (pra você ver o porquê): usando a fórmula de Laplace pela primeira linha,
\det(A)=1\cdot(2\cdot5-(-1)\cdot4)-1\cdot(2\cdot5-(-1)\cdot4)+3\cdot(2\cdot4-2\cdot4).
Calculemos cada parte:
2\cdot5-(-1)\cdot4=10+4=14,
2\cdot4-2\cdot4=8-8=0.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot14-1\cdot14+3\cdot0=14-14+0=0.
Confirmado: \det(A)=0.

Passo 5

Conclusão matemática e interpretação para a prova: como \det(A)=0, a matriz de coeficientes não é invertível, logo o sistema nunca terá solução única. Dependendo de \mathbf{b} o sistema pode ter infinitas soluções (se \mathbf{b} estiver no espaço coluna de A) ou nenhuma solução (se \mathbf{b} não estiver no espaço coluna de A), mas em nenhum caso haverá exatamente uma solução.

Resposta

Nenhum (b_{1},b_{2},b_{3}) — o sistema nunca tem solução única, pois \det(A)=0.

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