1. Determine A e B tal que
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{\operatorname{sen}(x y)}{x \cdot y}, \text { se } 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\ A+\ln \left(e^{A}+x-y\right), \text { se }(x+y)=(0,0) \\\ \frac{A x+B y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \text { se } x^{2}+y^{2} \geq 1 \end{array}\right.
Seja contínuo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\sin(xy)}{x\,y},&0< x^{2}+y^{2}\le1,\\[1em] A+\ln\bigl(e^{A}+x-y\bigr),& (x,y)=(0,0),\\[0.5em] \displaystyle \frac{A\,x+B\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&x^{2}+y^{2}>1, \end{cases}
e pede A,B tais que f seja contínua em \mathbb{R}^{2}. Vamos impor continuidade em (0,0) e na fronteira do disco unitário x^{2}+y^{2}=1.]

Passo 2

Continuidade em (0,0):
Quando (x,y)\to(0,0) pelo interior do disco,
\frac{\sin(xy)}{x\,y}\;\longrightarrow\;1
pois \sin(u)/u\to1 em u=xy\to0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1
deve coincidir com a definição em (0,0):
f(0,0)=A+\ln\bigl(e^{A}+0-0\bigr) =A+\ln(e^{A}) =A+A=2A.
Da igualdade 2A=1 segue
A=\tfrac12.

Passo 3

Continuidade na curva x^{2}+y^{2}=1:
Para um ponto genérico (x,y) com x^{2}+y^{2}=1,
\lim_{\substack{(u,v)\to(x,y)\u^{2}+v^{2}<1}} f(u,v) =\frac{\sin(xy)}{x\,y}, \quad \lim_{\substack{(u,v)\to(x,y)\u^{2}+v^{2}>1}} f(u,v) =\frac{A\,x+B\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =Ax+By,
já que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1. A continuidade exige
\frac{\sin(xy)}{x\,y}=Ax+By \quad\forall\;(x,y)\text{ com }x^{2}+y^{2}=1.
Substituindo A=\tfrac12, teríamos
\frac{\sin(xy)}{x\,y} =\tfrac12\,x+B\,y \quad\forall\;(x,y)\text{ sobre a circunferência},ê
o que é impossível de satisfazer por um único valor de B (por exemplo, nos pontos (1,0), (0,1) e (\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2) as igualdades são contraditórias).

Resposta

Não existe valor de B que garanta continuidade em toda a fronteira x^{2}+y^{2}=1. Assim, o único ajuste possível no interior é
A=\tfrac12,
mas não há B\in\mathbb{R} que torne f contínua em \mathbb{R}^{2}.

Exercícios relacionados