Utilize os testes de comparação para verificar se as séries abaixo convergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}e^{-n}
e pede para verificar a convergência usando testes de comparação entre séries de termos não negativos.

Passo 2

Note que para todo n\ge1 vale
\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}\le(1+1)^{2}=4.
Logo, definindo
a_{n}=\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}e^{-n},
temos
0\le a_{n}\le 4e^{-n}.

Passo 3

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}4e^{-n} é geométrica de razão r=e^{-1}<1, portanto converge. Pelo teste da comparação direta, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}e^{-n} converge.

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