Utilize os testes de comparação para verificar se as séries abaixo convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \log\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).
O conteúdo envolve testes de comparação e conhecimento de que séries do tipo \sum 1/n^{p} convergem se e somente se p>1.

Passo 2

Observamos que para todo x>-1 vale a desigualdade
\log(1+x)\le x,
portanto, tomando x=1/n^{2}, temos termos positivos e
\log\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\le \tfrac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma série p-série com p=2>1, logo converge. Pelo teste de comparação direta, como
\log(1+1/n^2)\le 1/n^2 e todos os termos são não negativos, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \log\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)
também converge.

Resposta

A série converge por comparação direta com a série \sum 1/n^{2}.

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