Determine b, para que se tenha:
a) |2 x-3|<b Leftrightarrow 0<x<3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de b de modo que a solução da desigualdade
|2x-3|<b
seja exatamente o intervalo aberto 0<x<3. O conteúdo aqui é resolução de inequação modular, em que usamos a propriedade
|u|<biff -b<u<b

Passo 2

Aplicando a definição de módulo, temos
|2x-3|<biff -,b<2x-3<b
Agora isolamos x. Primeiro somamos 3 a cada membro:
3 - b < 2x < 3 + b
Em seguida dividimos tudo por 2:
3 - b2 < x < 3 + b2
Logo, a solução é o intervalo
l(tfrac3 - b2,,tfrac3 + b2r)

Passo 3

Queremos que
l(tfrac3 - b2,,tfrac3 + b2r) = (0,3)
Isto impõe as condições de igualdade dos extremos:
3 - b2 = 0 e 3 + b2 = 3

Passo 4

Resolvendo cada uma:
3 - b2=0implies 3-b=0implies b=3,
3 + b2=3implies 3+b=6implies b=3
As duas condições estão satisfeitas por b=3.

Resposta

b = 3

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