Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Calcule o produto vetorial W=U times V e verifique se W é ortogonal a U e a V :
U=(0,1,-2) e V=(1,4,0.5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial vec W = vec U times vec V e verificar se vec W é ortogonal a vec U e a vec V. O conteúdo principal é a definição de produto vetorial em R^3 – via determinante – e a propriedade de ortogonalidade, que se verifica checando se o produto escalar é zero.

Passo 2

Usamos a definição de produto vetorial como determinante de uma matriz 3times3:
vec W = vec U times vec V = i & j & k 0 & 1 & -2 1 & 4 & 0,5
Calculando componente a componente:
Wx = 1cdot0,5 - (-2)cdot4 = 0,5 + 8 = 8,5,
Wy = -l(0cdot0,5 - (-2)cdot1r) = -(0 + 2) = -2,
Wz = 0cdot4 - 1cdot1 = -1
Portanto
vec W = l(8,5,,-2,,-1r) = l(tfrac172,,-2,,-1r)

Passo 3

Para verificar ortogonalidade a vec U, calculamos o produto escalar vec Ucdotvec W:
vec Ucdotvec W = 0cdot8,5 + 1cdot(-2) + (-2)cdot(-1) = -2 + 2 = 0
Como deu zero, vec W é ortogonal a vec U.

Passo 4

Para verificar ortogonalidade a vec V, calculamos o produto escalar vec Vcdotvec W:
vec Vcdotvec W = 1cdot8,5 + 4cdot(-2) + 0,5cdot(-1) = 8,5 - 8 - 0,5 = 0
Como também deu zero, vec W é ortogonal a vec V.

Resposta

vec W = vec U times vec V = l(tfrac172,,-2,,-1r), e vec W é ortogonal tanto a vec U quanto a vec V.

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