Determine \bar{S}(f, P) em [0,2] onde f(x)=x^{2}+2 x. (1,0 pt)

Passo 1

O enunciado pede a soma superior (upper sum) \overline S(f,P) no intervalo [0,2] para a função
f(x)=x^2+2x
em que P é a partição \{0=x_0<x_1<\cdots<x_n=2\}.
Para calcular \overline S(f,P), precisamos achar, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], o supremo de f e depois somar esse supremo vezes a largura do subintervalo.

Passo 2

Verificamos o comportamento de f em [0,2]. Calculando a derivada:
f'(x)=2x+2.
Como 2x+2>0 para todo x\ge0, a função é estritamente crescente em [0,2]. Logo, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], o supremo de f ocorre no ponto direito x_i:
\sup_{[x_{i-1},x_i]}f=f(x_i).

Passo 3

Pela definição de soma superior, temos
\overline S(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\sup_{[x_{i-1},x_i]}f\Bigr)\,(x_i-x_{i-1}) =\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x_i,
onde \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.

Passo 4

Substituindo f(x_i)=x_i^2+2x_i, obtemos a expressão final:
\overline S(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i^2+2x_i\bigr)\,(x_i-x_{i-1}).

Resposta

\overline S(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i^2+2x_i\bigr)\,(x_i-x_{i-1}).

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