Exercício 3
Encontre o valor ótimo e solução ótima
\min \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 x_{1}+x_{2}
s.a
\begin{gathered} x_{1}-x_{2} \leq 1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2} \leq 12 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2} \geq 3 \\\\ -2 x_{1}+3 x_{2} \leq 9 \\\ x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{gathered}

Passo 1

O problema é um programa linear em duas variáveis:
\min\;f(x_{1},x_{2})=2x_{1}+x_{2}
sujeito a
\begin{cases} x_{1}-x_{2}\le1,\\\\ 3x_{1}+2x_{2}\le12,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}\ge3,\\\\ -2x_{1}+3x_{2}\le9,\\\ x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0. \end{cases}
Em duas variáveis, sabemos que o ótimo ocorre em um vértice da região poligonal viável. Vamos, então, reescrever cada restrição como igualdade de x_{2} em função de x_{1} e depois encontrar as interseções que de fato pertencem à região.

Passo 2

Reescrevemos cada fronteira:
x_{1}-x_{2}=1\;\Longrightarrow\;x_{2}=x_{1}-1,\quad 3x_{1}+2x_{2}=12\;\Longrightarrow\;x_{2}=\frac{12-3x_{1}}{2},
2x_{1}+3x_{2}=3\;\Longrightarrow\;x_{2}=\frac{3-2x_{1}}{3},\quad -2x_{1}+3x_{2}=9\;\Longrightarrow\;x_{2}=\frac{9+2x_{1}}{3},
além de x_{1}=0 e x_{2}=0.
As desigualdades tornam-se:
x_{2}\ge x_{1}-1,\quad x_{2}\le\frac{12-3x_{1}}{2},\quad x_{2}\ge\frac{3-2x_{1}}{3},\quad x_{2}\le\frac{9+2x_{1}}{3},\quad x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.

Passo 3

Listamos os vértices candidatos obtidos pelas interseções de duas fronteiras e testamos se satisfazem todas as desigualdades:
1. (x_{1},x_{2})=(0,1) é interseção de x_{1}=0 com 2x_{1}+3x_{2}=3.
2. (x_{1},x_{2})=(0,3) é interseção de x_{1}=0 com -2x_{1}+3x_{2}=9.
3. (x_{1},x_{2})=\bigl(\tfrac{6}{5},\tfrac{1}{5}\bigr) vem de
x_{2}=x_{1}-1,\quad x_{2}=\frac{3-2x_{1}}{3}.
4. (x_{1},x_{2})=\bigl(\tfrac{14}{5},\tfrac{9}{5}\bigr) vem de
x_{2}=x_{1}-1,\quad x_{2}=\frac{12-3x_{1}}{2}.
5. (x_{1},x_{2})=\bigl(\tfrac{18}{13},\tfrac{51}{13}\bigr) vem de
x_{2}=\frac{12-3x_{1}}{2},\quad x_{2}=\frac{9+2x_{1}}{3}.
Todas as outras interseções caem fora da região x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0 ou violam alguma desigualdade.

Passo 4

Calculamos f(x_{1},x_{2})=2x_{1}+x_{2} em cada vértice:
\begin{aligned} f(0,1)&=1,\\\ f(0,3)&=3,\\\ f\Bigl(\tfrac{6}{5},\tfrac{1}{5}\Bigr)&=2\cdot\frac{6}{5}+\frac{1}{5}=\frac{13}{5}=2{,}6,\\\ f\Bigl(\tfrac{14}{5},\tfrac{9}{5}\Bigr)&=\frac{28}{5}+\frac{9}{5}=\frac{37}{5}=7{,}4,\\\ f\Bigl(\tfrac{18}{13},\tfrac{51}{13}\Bigr)&=\frac{36}{13}+\frac{51}{13}=\frac{87}{13}\approx6{,}69. \end{aligned}

Passo 5

O menor valor é 1, ocorrido em (x_{1},x_{2})=(0,1).

Resposta

O valor ótimo é f_{\min}=1 e a solução ótima é (x_{1},x_{2})=(0,1).

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