Utilize volume de sólido de revolução por meio de integrais para mostar que o volume do tronco de cone com altura h, raio menor r e raio maior R é igual à: ( 2,0 \mathrm{pts} )
V=\frac{\pi h}{3}\left(r^{2}+r R+R^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por meio de integrais de sólidos de revolução, o volume do tronco de cone de altura h, raio menor r e raio maior R. Vamos usar o método do disco, definindo um eixo de coordenadas tal que o tronco seja gerado pela rotação de uma reta ao redor do eixo x.

Passo 2

Colocamos o eixo x de 0 a h. A geratriz do tronco é uma reta que em x=0 tem altura y=r e em x=h altura y=R. Logo, sua equação é
y(x)=r+\frac{R-r}{h}\,x.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi\int_{0}^{h} \bigl[y(x)\bigr]^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{h}\Bigl(r+\frac{R-r}{h}\,x\Bigr)^{2}dx.

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando termo a termo,
\Bigl(r+\frac{R-r}{h}\,x\Bigr)^{2} = r^{2} + 2r\frac{R-r}{h}\,x + \frac{(R-r)^{2}}{h^{2}}\,x^{2}.
Assim,
V = \pi\Bigl[ \underbrace{\int_{0}^{h}r^{2}\,dx}_{r^{2}h} + \underbrace{\int_{0}^{h}2r\frac{R-r}{h}\,x\,dx}_{2r\frac{R-r}{h}\,\frac{h^{2}}{2}=r(R-r)h} + \underbrace{\int_{0}^{h}\frac{(R-r)^{2}}{h^{2}}\,x^{2}\,dx}_{\frac{(R-r)^{2}}{h^{2}}\frac{h^{3}}{3}=\frac{(R-r)^{2}h}{3}} \Bigr].
Logo,
V = \pi\Bigl[r^{2}h + r(R-r)h + \frac{(R-r)^{2}h}{3}\Bigr] = \pi h\Bigl[r^{2} + rR - r^{2} + \frac{R^{2}-2rR+r^{2}}{3}\Bigr].
Agrupando termos dentro do colchete e fatorando \tfrac{1}{3},
V = \frac{\pi h}{3}\bigl(r^{2}+rR+R^{2}\bigr).

Resposta

V = \frac{\pi h}{3}\bigl(r^{2}+rR+R^{2}\bigr).

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