Utilize volume de sólido de revolução por meio de integrais para mostar que o volume do tronco de cone com altura h, raio menor r e raio maior R é igual à: ( 2,0 \mathrm{pts} )
V=\frac{\pi h}{3}\left(r^{2}+r R+R^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, por meio de integrais de sólidos de revolução, o volume do tronco de cone de altura h, raio menor r e raio maior R. Vamos usar o método do disco, definindo um eixo de coordenadas tal que o tronco seja gerado pela rotação de uma reta ao redor do eixo x.
Passo 2
Colocamos o eixo x de 0 a h. A geratriz do tronco é uma reta que em x=0 tem altura y=r e em x=h altura y=R. Logo, sua equação é
y(x)=r+\frac{R-r}{h}\,x.
Passo 3
Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi\int_{0}^{h} \bigl[y(x)\bigr]^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{h}\Bigl(r+\frac{R-r}{h}\,x\Bigr)^{2}dx.
Passo 4
Expandindo o integrando e integrando termo a termo,