Exercício 2
A)Encontre a região factível
B) Encontre o vetor gradiente
C) Encontre as 3 curvas de níveis.
D)Encontre o valor ótimo e solução ótima
\begin{array}{cc} \max & f\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+2 x_{2} \\\ \text { s.a } & 0,5 x_{1}+0,3 x_{2} \leq 3 \\\ & 0,1 x_{1}+0,2 x_{2} \leq 1 \\\ & 0,4 x_{1}+0,5 x_{2} \leq 3 \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{array}

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de programação linear em \mathbb{R}^2\) cujo objetivo é \[\max f(x_{1},x_{2}) = 3x_{1} + 2x_{2}
sujeito a
\begin{cases} 0,5\,x_{1} + 0,3\,x_{2} \le 3,\\\\ 0,1\,x_{1} + 0,2\,x_{2} \le 1,\\\\ 0,4\,x_{1} + 0,5\,x_{2} \le 3,\\\ x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0. \end{cases}
Queremos (A) descrever a região factível, (B) calcular o vetor gradiente de (f], (C) obter três curvas de nível e (D) encontrar a solução ótima e o valor ótimo.

Passo 2

Para achar a região factível, intersectamos os semiplanos. Primeiro, determinamos os pontos de interseção de cada restrição com os eixos:
\begin{aligned} &0,5x_{1}+0,3x_{2}=3\;\Rightarrow\;(x_{1},x_{2})=(6,0)\text{ e }(0,10),\\\ &0,1x_{1}+0,2x_{2}=1\;\Rightarrow\;(x_{1},x_{2})=(10,0)\text{ e }(0,5),\\\ &0,4x_{1}+0,5x_{2}=3\;\Rightarrow\;(x_{1},x_{2})=(7{,}5,0)\text{ e }(0,6). \end{aligned}
Depois, calculamos as interseções de cada par de linhas:
\begin{aligned} &(0,5)\wedge(0,4):\quad \begin{cases} 5x_{1}+3x_{2}=30,\\\\ 4x_{1}+5x_{2}=30, \end{cases} \;\Rightarrow\;(x_{1},x_{2})=\Bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\Bigr),\\\ &(0,1)\wedge(0,4):\quad \begin{cases} x_{1}+2x_{2}=10,\\\\ 4x_{1}+5x_{2}=30, \end{cases} \;\Rightarrow\;(x_{1},x_{2})=\Bigl(\tfrac{10}{3},\tfrac{10}{3}\Bigr). \end{aligned}
Verificando todas as restrições, os vértices da região factível em x_{1},x_{2}\ge0 são
(0,0),\;(6,0),\;\Bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\Bigr),\;\Bigl(\tfrac{10}{3},\tfrac{10}{3}\Bigr),\;(0,5).

Passo 3

O vetor gradiente de
f(x_{1},x_{2})=3x_{1}+2x_{2}
é dado por
\nabla f(x_{1},x_{2}) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\Bigr) =(3,2).
Ele aponta na direção de maior crescimento de f.

Passo 4

As curvas de nível de f são as retas
3x_{1}+2x_{2}=k,
para constante k. Por exemplo, escolhemos
k=6,\quad k=12,\quad k=18,
que fornecem três linhas paralelas, deslocando-se no sentido de \nabla f à medida que k cresce.

Passo 5

Para encontrar o ótimo avaliamos f em cada vértice:
\begin{aligned} f(0,0)&=0,\\\ f(6,0)&=3\cdot6+2\cdot0=18,\\\ f\Bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\Bigr) &=3\cdot\tfrac{60}{13}+2\cdot\tfrac{30}{13} =\tfrac{240}{13}\approx18{,}46,\\\ f\Bigl(\tfrac{10}{3},\tfrac{10}{3}\Bigr) &=3\cdot\tfrac{10}{3}+2\cdot\tfrac{10}{3} =\tfrac{50}{3}\approx16{,}67,\\\ f(0,5)&=10. \end{aligned}
O valor máximo é \tfrac{240}{13}, obtido no ponto \bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\bigr).

Resposta

A) A região factível é o polígono convexo com vértices
(0,0),\;(6,0),\;\bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\bigr),\;\bigl(\tfrac{10}{3},\tfrac{10}{3}\bigr),\;(0,5).
B) \nabla f(x_{1},x_{2})=(3,2).
C) Três curvas de nível:
3x_{1}+2x_{2}=6,\quad 3x_{1}+2x_{2}=12,\quad 3x_{1}+2x_{2}=18.
D) A solução ótima é \bigl(\tfrac{60}{13},\tfrac{30}{13}\bigr) com valor ótimo f^*=\tfrac{240}{13}.

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