O enunciado pede que eu prove quatro limites. Vou listar exatamente o que se pede e as informações que tenho em cada item, sem resolver ainda.
(a) Provar que \displaystyle \lim_{t\to 0}\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|=0.
Informação: aparece o produto de t por \sin(1/t) e há um valor absoluto.
(b) Provar que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
Informação: é um limite para +\infty, ou seja, quando x se aproxima de 0 o valor da função cresce sem limite.
(c) Provar que \displaystyle \lim_{t\to 1}\left[\frac{2(t-1)}{t-4}\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)\right]=0.
Informação: é um produto entre a fração racional \frac{2(t-1)}{t-4} e \cos(\pi/t).
(d) Provar que \displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{3-\sqrt{y+9}}{y}=-\frac{1}{6}.
Informação: há uma raiz quadrada no numerador; a expressão está indefinida em y=0 por divisão por zero, então preciso manipular algebraicamente para calcular o limite.
Passo 2
Resolvendo e explicando detalhadamente o item (a). Vou usar um resultado simples e super útil: a função seno é limitada entre -1 e 1.
Teorema que vou usar (descrição intuitiva): se uma função g(t) satisfaz |g(t)|\leq h(t) para todos t em algum intervalo e \lim_{t\to a} h(t)=0, então \lim_{t\to a} g(t)=0. Esse é o princípio do “teorema do confronto” (squeeze theorem).
Aplicação aqui: sei que para todo real u vale |\sin u|\leq 1. Então, colocando u=\frac{1}{t}, tenho
Agora observo que \lim_{t\to 0}|t|=0 — isto é óbvio porque |t| tende a 0 quando t\to 0. Pelo teorema do confronto, como a função absoluta \left|t\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| está “presa” entre 0 e |t| (na verdade 0\leq\left|t\sin(1/t)\right|\leq|t|), e |t|\to 0, segue que
Explicação extra curta (como eu faria na prova): usar que |\sin|\le1 e aplicar squeeze. Simples e seguro.
Passo 3
Resolvendo e explicando detalhadamente o item (b). Aqui o objetivo é provar que a função cresce indefinidamente quando x se aproxima de 0. Vou usar a definição de limite que tende a +\infty.
Definição (intuitiva e a versão que uso): dizer que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty significa: para todo número real M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<\delta (ou seja, 0<|x|<\delta), então \frac{1}{x^{2}}>M.
Escolho uma estratégia direta para dada M>0: quero garantir 1/x^{2}>M. Reescrevo essa desigualdade como x^{2}<1/M, que equivale a |x|<1/\sqrt{M} (pois x^{2}=(|x|)^{2}). Assim, se eu tomar
\delta=\frac{1}{\sqrt{M}},
então sempre que 0<|x|<\delta eu tenho x^{2}<1/M e, portanto, \dfrac{1}{x^{2}}>M.
Isso satisfaz exatamente a definição: para todo M>0 existe \delta=1/\sqrt{M} tal que 0<|x|<\delta implica \dfrac{1}{x^{2}}>M. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
Comentário amigo: a ideia é só isolar x na desigualdade desejada e escolher \delta compatível — é um padrão muito útil para limites que vão ao infinito.
Passo 4
Resolvendo e explicando detalhadamente o item (c). A expressão é produto entre uma fração racional e um cosseno oscilante. A estratégia é usar o fato de que o cosseno é limitado e que a parte racional tende a 0 quando t\to 1.
Passo a passo:
Propriedade usada: para todo real u vale |\cos u|\leq 1. Então, para u=\pi/t,
Agora analiso a parte racional g(t)=\dfrac{2(t-1)}{t-4}. Note que g é uma função racional (polinômio sobre polinômio) cujo denominador t-4 não é zero em t=1, pois 1-4=-3\neq 0. Portanto g é contínua em t=1 e podemos avaliar o limite simplesmente substituindo t=1:
Juntando os fatos: \left|f(t)\right|\leq \left|\dfrac{2(t-1)}{t-4}\right| e a quantidade à direita tende a 0 quando t\to1. Pelo teorema do confronto, \left|f(t)\right|\to 0, isto é, f(t)\to 0.
Comentário prático: esse é um padrão comum — produto de algo que vai a zero por algo limitado gera zero.
Passo 5
Resolvendo e explicando detalhadamente o item (d). Aqui é conveniente simplificar a expressão usando a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar por conjugado), para cancelar o y que está no denominador.
Começo com a função
h(y)=\frac{3-\sqrt{y+9}}{y}.
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado 3+\sqrt{y+9} (isso é permitido para y\neq 0):
Agora é direto: a função \varphi(y)=3+\sqrt{y+9} é contínua em y=0 (a raiz está bem definida perto de 0 porque y+9\ge 9>0). Então posso tomar limite por continuidade: