Mostre que se v1, v2, cdots, vn é uma base de um espaço vetorial V e c neq 0, então c v1, v2, cdots, vn também é uma base de V.

Passo 1

O enunciado afirma que v1,v2,dots,vn é uma base de V e pede para mostrar que, para um escalar cneq0, o conjunto c,v1,v2,dots,vn também é base de V. Vamos usar os dois critérios de base: geração e independência linear.

Passo 2

Provar que c,v1,v2,dots,vn gera V. Como v1,dots,vn gera V, qualquer vetor xin V se escreve
x = alpha1,v1 + alpha2,v2 + cdots + alphan,vn
Mas v1 = tfrac1c(c,v1). Substituindo,
x = alpha1,tfrac1c(c,v1) + alpha2,v2 + cdots + alphan,vn,
logo x está no span de c,v1,v2,dots,vn. Portanto esse conjunto gera V.

Passo 3

Provar que c,v1,v2,dots,vn é linearmente independente. Suponha que existam escalares beta1,dots,betan tais que
beta1(c,v1) + beta2v2 + cdots + betanvn = 0
Isso equivale a
(c,beta1),v1 + beta2,v2 + cdots + betan,vn = 0
Como v1,dots,vn é independente, segue que c,beta1=0 e beta2=cdots=betan=0. Mas cneq0, então beta1=0. Logo todos betai são zero, o que prova a independência.

Resposta

Como c,v1,v2,dots,vn gera V e é linearmente independente, concluímos que é uma base de V.

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