Mostre que se
é uma base de um espaço vetorial
e
, então
também é uma base de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma base de
e pede para mostrar que, para um escalar
, o conjunto
também é base de
. Vamos usar os dois critérios de base: geração e independência linear.
Passo 2
Provar que
gera
. Como
gera
, qualquer vetor
se escreve
Mas
. Substituindo,
logo
está no span de
. Portanto esse conjunto gera
.
Passo 3
Provar que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
Isso equivale a
Como
é independente, segue que
e
. Mas
, então
. Logo todos
são zero, o que prova a independência.
Resposta
Como
gera
e é linearmente independente, concluímos que é uma base de
.