Obtenha a equação geral dos planos a seguir:
r:lx=1+lambda-alpha y=2 lambda+alpha z=3-alpha

Passo 1

O enunciado nos dá a representação paramétrica de um plano em
O objetivo é obter a equação geral (ax+by+cz+d=0]. Para isso vamos extrair um ponto que pertence ao plano e dois vetores diretores, depois calcular um vetor normal por produto vetorial e então montar a equação.

Passo 2

Escolhemos lambda=0 e alpha=0 para encontrar um ponto P do plano:
P = (x,y,z)|lambda=0,alpha=0 = (1,0,3)
Os vetores diretores vêm das derivadas em relação a cada parâmetro:
v1 = partial(x,y,z)partiallambda = (1,2,0), v2 = partial(x,y,z)partialalpha = (-1,1,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado por v1timesv2. Calculando:
n = (1,2,0)times(-1,1,-1) = i & j & k 1 & 2 & 0 -1 & 1 & -1 = -2,i + 1,j + 3,k,
ou seja n=(-2,1,3).

Passo 4

A equação do plano é ncdotl((x,y,z)-Pr)=0, logo
(-2,1,3)cdotl((x,y,z)-(1,0,3)r)=0 ;Longrightarrow; -2(x-1)+1(y-0)+3(z-3)=0
Distributando e somando termos:
-2x+2 +y +3z-9 = 0 ;Longrightarrow; -2x + y +3z -7 = 0
Multiplicando por -1 para forma usual:
2x - y -3z +7 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
2x - y - 3z + 7 = 0

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