Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o espaço
e pede: determinar uma base para
.
Informações dadas que vamos usar:
- Todo vetor de
tem a forma com . - Queremos um conjunto de vetores que gere
e que seja linearmente independente (i.e., uma base).
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de
como combinação linear de vetores simples. Tome um vetor genérico de
:
Podemos separar as coordenadas que dependem de
e de
. Reescrevendo:
Isto mostra que qualquer
é combinação linear dos vetores
e
.
Passo 3
Pela observação anterior, um candidato natural a base é
Agora vamos verificar as duas propriedades de base: gerar
(span) e ser linearmente independente.
Passo 4
Verificação de que
gera
(span):
- Dados
, vimos que
Portanto todo vetor de
é combinação linear de
e
. Logo
.
Passo 5
Verificação de independência linear de
:
- Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo as componentes:
Isto gera o sistema de equações
Daqui segue
e
. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Concluímos que
é um conjunto que gera
e é linearmente independente, portanto é uma base de
. Observação útil: o espaço
tem dimensão
.