Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(d) \mathrm{S}=\{(x, y, x) ; x, y \in \Re\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço
S=\{(x,y,x) \; ;\; x,y\in\mathbb{R}\}
e pede: determinar uma base para S.
Informações dadas que vamos usar:
  • Todo vetor de S tem a forma (x,y,x) com x,y\in\mathbb{R}.
  • Queremos um conjunto de vetores que gere S e que seja linearmente independente (i.e., uma base).

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico de S como combinação linear de vetores simples. Tome um vetor genérico de S:
(x,y,x).
Podemos separar as coordenadas que dependem de x e de y. Reescrevendo:
(x,y,x)=x(1,0,1)+y(0,1,0).
Isto mostra que qualquer (x,y,x)\in S é combinação linear dos vetores (1,0,1) e (0,1,0).

Passo 3

Pela observação anterior, um candidato natural a base é
B=\{\,v_1=(1,0,1),\; v_2=(0,1,0)\,\}.
Agora vamos verificar as duas propriedades de base: gerar S (span) e ser linearmente independente.

Passo 4

Verificação de que B gera S (span):
  • Dados x,y\in\mathbb{R}, vimos que
(x,y,x)=x v_1 + y v_2.
Portanto todo vetor de S é combinação linear de v_1 e v_2. Logo \operatorname{span}(B)=S.

Passo 5

Verificação de independência linear de B:
  • Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a v_1 + b v_2 = (0,0,0).
Escrevendo as componentes:
a(1,0,1)+b(0,1,0)=(a,\;b,\;a)=(0,0,0).
Isto gera o sistema de equações
a=0,\quad b=0,\quad a=0.
Daqui segue a=0 e b=0. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 6

Concluímos que B=\{(1,0,1),(0,1,0)\} é um conjunto que gera S e é linearmente independente, portanto é uma base de S. Observação útil: o espaço S tem dimensão 2.

Resposta

\{(1,0,1),(0,1,0)\}

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