Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(e) \mathrm{S}=\{(x, y, z, w) ; x-3 y+z=0\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto S de \mathbb{R}^4 definido por uma equação linear:
S=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+z=0\}.
O que é pedido: determinar uma base para o espaço vetorial S.
Informações relevantes do enunciado: a condição que os vetores devem satisfazer é \;x-3y+z=0\;. Não há restrição em relação à coordenada w.

Passo 2

O que é uma base (explicação didática e curta): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros). Se encontrarmos um conjunto que satisfaça essas duas propriedades, temos uma base. Também vale lembrar que, para um subespaço de \mathbb{R}^4 definido por uma única equação linear independente, a dimensão será 4-1=3, então esperamos uma base com 3 vetores.

Passo 3

Parametrizar os vetores de S. A equação é
x-3y+z=0.
Escolho tratar y,z,w como variáveis livres (parâmetros). Denote y=s,\; z=t,\; w=u onde s,t,u\in\mathbb{R}. Da equação obtemos
x=3y-z=3s-t.
Portanto um vetor genérico de S é
(x,y,z,w)=(3s-t,\; s,\; t,\; u).

Passo 4

Escrever a parametrização como combinação linear de vetores fixos (isso mostra que o conjunto de tais vetores gera S). Separe os coeficientes s,t,u:
(3s-t,\; s,\; t,\; u)=s(3,1,0,0)+t(-1,0,1,0)+u(0,0,0,1).
Logo todo vetor de S é combinação linear dos três vetores
v_1=(3,1,0,0),\qquad v_2=(-1,0,1,0),\qquad v_3=(0,0,0,1).
Isto prova que \{v_1,v_2,v_3\} gera S.

Passo 5

Verificar a independência linear dos vetores v_1,v_2,v_3. Considere
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\alpha\cdot 3+\beta\cdot(-1)+\gamma\cdot 0=0,
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 0+\gamma\cdot 0=0,
\alpha\cdot 0+\beta\cdot 1+\gamma\cdot 0=0,
\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0+\gamma\cdot 1=0.
Das últimas três equações obtemos diretamente
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=0.
(Verifique: da segunda equação \alpha=0; da terceira \beta=0; da quarta \gamma=0.) Portanto os coeficientes são nulos e os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão: temos um conjunto de três vetores que gera S e que é linearmente independente, logo é uma base de S. A dimensão de S é 3, conforme esperado.

Resposta

\{(3,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(0,0,0,1)\}

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