Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
definido por uma equação linear:
O que é pedido: determinar uma base para o espaço vetorial
.
Informações relevantes do enunciado: a condição que os vetores devem satisfazer é . Não há restrição em relação à coordenada
.
Informações relevantes do enunciado: a condição que os vetores devem satisfazer é
Passo 2
O que é uma base (explicação didática e curta): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros). Se encontrarmos um conjunto que satisfaça essas duas propriedades, temos uma base. Também vale lembrar que, para um subespaço de
definido por uma única equação linear independente, a dimensão será
, então esperamos uma base com 3 vetores.
Passo 3
Parametrizar os vetores de
. A equação é
Escolho tratar
como variáveis livres (parâmetros). Denote
onde
. Da equação obtemos
Portanto um vetor genérico de
é
Passo 4
Escrever a parametrização como combinação linear de vetores fixos (isso mostra que o conjunto de tais vetores gera
). Separe os coeficientes
:
Logo todo vetor de
é combinação linear dos três vetores
Isto prova que
gera
.
Passo 5
Verificar a independência linear dos vetores
. Considere
Escrevendo coordenada a coordenada:
Das últimas três equações obtemos diretamente
(Verifique: da segunda equação
; da terceira
; da quarta
.) Portanto os coeficientes são nulos e os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão: temos um conjunto de três vetores que gera
e que é linearmente independente, logo é uma base de
. A dimensão de
é
, conforme esperado.