Encontre a dimensão e o espaço gerado por:
(iii) \quad t^{3}-2 t^{2}+5 e t^{2}+3 t-4
Passo 1
O enunciado dá duas funções polinomiais em t:
p_{1}(t)=t^{3}-2t^{2}+5
p_{2}(t)=t^{2}+3t-4
O que é pedido:
Determinar a dimensão do espaço gerado por p_{1} e p_{2}.
Descrever explicitamente o espaço gerado (o conjunto de todas as combinações lineares desses polinômios).
Informações relevantes recebidas:
Dois polinômios explícitos (coeficientes conhecidos).
Não há outras restrições (assume-se coeficientes reais).
Passo 2
Primeiro ponto teórico rápido e prático (sem jargão complicado): polinômios formam um espaço vetorial. O “espaço gerado” por p_{1} e p_{2} é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha\,p_{1}(t)+\beta\,p_{2}(t),
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Esse conjunto é sempre um subespaço e a sua dimensão é o número máximo de vetores linearmente independentes entre p_{1} e p_{2}. Para saber se são independentes basta verificar se existe \alpha,\beta, não ambos nulos, tais que
Se a única solução for \alpha=\beta=0, eles são independentes e a dimensão do subespaço gerado é 2. Se existir solução não trivial, a dimensão seria 1.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear e comparar coeficientes (lembrando que dois polinômios são iguais se, e só se, todos os coeficientes correspondentes são iguais). Considere
O polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, logo obtemos o sistema (coeficiente a coeficiente):
\begin{cases} \alpha = 0 &\text{(coeficiente de }t^{3}\text{)}\\[4pt] -2\alpha+\beta = 0 &\text{(coeficiente de }t^{2}\text{)}\\[4pt] 3\beta = 0 &\text{(coeficiente de }t\text{)}\\[4pt] 5\alpha-4\beta=0 &\text{(termo constante)} \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema:
Da primeira equação vem \alpha=0.
Substituindo em -2\alpha+\beta=0 dá \beta=0.
As outras equações são então satisfeitas por \alpha=0,\beta=0.
Como a única solução é trivial (\alpha=\beta=0), concluímos que p_{1} e p_{2} são linearmente independentes. Portanto a dimensão do espaço gerado por eles é 2.
Passo 5
Agora vamos descrever o espaço gerado explicitamente. Qualquer elemento do espaço gerado tem a forma
Se quisermos escrever esse espaço como um conjunto de polinômios at^{3}+bt^{2}+ct+d com condições sobre a,b,c,d, podemos relacionar os coeficientes com \alpha e \beta: