Encontre a dimensão e o espaço gerado por:
(iii) \quad t^{3}-2 t^{2}+5 e t^{2}+3 t-4

Passo 1

O enunciado dá duas funções polinomiais em t:
  • p_{1}(t)=t^{3}-2t^{2}+5
  • p_{2}(t)=t^{2}+3t-4
O que é pedido:
  • Determinar a dimensão do espaço gerado por p_{1} e p_{2}.
  • Descrever explicitamente o espaço gerado (o conjunto de todas as combinações lineares desses polinômios).
Informações relevantes recebidas:
  • Dois polinômios explícitos (coeficientes conhecidos).
  • Não há outras restrições (assume-se coeficientes reais).

Passo 2

Primeiro ponto teórico rápido e prático (sem jargão complicado): polinômios formam um espaço vetorial. O “espaço gerado” por p_{1} e p_{2} é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha\,p_{1}(t)+\beta\,p_{2}(t),
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Esse conjunto é sempre um subespaço e a sua dimensão é o número máximo de vetores linearmente independentes entre p_{1} e p_{2}. Para saber se são independentes basta verificar se existe \alpha,\beta, não ambos nulos, tais que
\alpha\,p_{1}(t)+\beta\,p_{2}(t)=0\\ \text{(polinômio nulo)}.ô
Se a única solução for \alpha=\beta=0, eles são independentes e a dimensão do subespaço gerado é 2. Se existir solução não trivial, a dimensão seria 1.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear e comparar coeficientes (lembrando que dois polinômios são iguais se, e só se, todos os coeficientes correspondentes são iguais). Considere
\alpha(t^{3}-2t^{2}+5)+\beta(t^{2}+3t-4)=0.
Agrupando por potências de t,
\alpha t^{3}+(-2\alpha+\beta)t^{2}+(3\beta)t+(5\alpha-4\beta)=0.
O polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, logo obtemos o sistema (coeficiente a coeficiente):
\begin{cases} \alpha = 0 &\text{(coeficiente de }t^{3}\text{)}\\[4pt] -2\alpha+\beta = 0 &\text{(coeficiente de }t^{2}\text{)}\\[4pt] 3\beta = 0 &\text{(coeficiente de }t\text{)}\\[4pt] 5\alpha-4\beta=0 &\text{(termo constante)} \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema:
  • Da primeira equação vem \alpha=0.
  • Substituindo em -2\alpha+\beta=0 \beta=0.
  • As outras equações são então satisfeitas por \alpha=0,\beta=0.
Como a única solução é trivial ( \alpha=\beta=0), concluímos que p_{1} e p_{2} são linearmente independentes. Portanto a dimensão do espaço gerado por eles é 2.

Passo 5

Agora vamos descrever o espaço gerado explicitamente. Qualquer elemento do espaço gerado tem a forma
\alpha(t^{3}-2t^{2}+5)+\beta(t^{2}+3t-4),
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Expandindo:
\alpha t^{3}+(-2\alpha+\beta)t^{2}+(3\beta)t+(5\alpha-4\beta).
Se quisermos escrever esse espaço como um conjunto de polinômios at^{3}+bt^{2}+ct+d com condições sobre a,b,c,d, podemos relacionar os coeficientes com \alpha e \beta:
\begin{aligned} a&=\alpha,\\[4pt] b&=-2\alpha+\beta,\\[4pt] c&=3\beta,\\[4pt] d&=5\alpha-4\beta. \end{aligned}
Eliminando \alpha e \beta em favor de a e b (mais direto: \alpha=a e \beta=b+2a), obtemos
\begin{aligned} c&=3\beta=3(b+2a)=6a+3b,\\[4pt] d&=5\alpha-4\beta=5a-4(b+2a)=-3a-4b. \end{aligned}
Assim o espaço gerado é o conjunto dos polinômios
at^{3}+bt^{2}+(6a+3b)t+(-3a-4b)
com a,b\in\mathbb{R}. Esse é um subespaço de dimensão 2. Uma base natural é justamente \{\,p_{1},p_{2}\,\}=\{\,t^{3}-2t^{2}+5,\;t^{2}+3t-4\,\}.]

Passo 6

Resumo prático para a prova (versão curta que dá para copiar):
  • A dimensão é 2.
  • O espaço gerado é
\left\{\,\alpha(t^{3}-2t^{2}+5)+\beta(t^{2}+3t-4)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\right\},
ou, em forma de coeficientes,
\left\{\,at^{3}+bt^{2}+(6a+3b)t+(-3a-4b)\mid a,b\in\mathbb{R}\,\right\},
e uma base é \{\,t^{3}-2t^{2}+5,\\ t^{2}+3t-4\,\}.

Resposta

Dimensão: 2
Espaço gerado: \displaystyle \left\{\alpha(t^{3}-2t^{2}+5)+\beta(t^{2}+3t-4)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}

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