Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(c) S=\left\{(x, y, z) \in Re^{3} / 2 x-y+3 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base para o espaço vetorial S definido por
S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 2x-y+3z=0\right\}.
Informações dadas:
  • S é o subconjunto de \mathbb{R}^{3} formado por todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a equação linear \,2x-y+3z=0.
  • O objetivo é encontrar um conjunto de vetores que seja simultaneamente gerador de S (span) e linearmente independente — ou seja, uma base de S.

Passo 2

Entender a equação e expressá-la de forma conveniente. A equação que define S é
2x-y+3z=0.
Vou isolar uma variável para expressar os vetores de S em função de parâmetros livres. Por exemplo, isolo y:
y = 2x + 3z.
Isso significa que qualquer vetor (x,y,z)\in S pode ser escrito como (x,\,2x+3z,\,z).

Passo 3

Agora vamos escrever (x,2x+3z,z) como combinação linear de vetores multiplicados por parâmetros. Note que aparecem os parâmetros x e z (podemos escolher esses como parâmetros livres). Escrevendo:
(x,2x+3z,z) = x\,(1,2,0) + z\,(0,3,1).
Explicando o que foi feito: separou-se os termos que multiplicam x e os que multiplicam z, obtendo dois vetores fixos (1,2,0) e (0,3,1) que são combinados pelas coordenadas escalares x e z.

Passo 4

Interpretação dessa escrita: a expressão do passo anterior mostra que todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,3,1). Em linguagem de espaços vetoriais, isso quer dizer que
S = \operatorname{span}\{(1,2,0),\,(0,3,1)\}.
Portanto os dois vetores geram S.

Passo 5

Agora precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. A definição prática: vetores [v_1) e v_2 são linearmente independentes se a única solução para \alpha v_1 + \beta v_2 = 0 é \alpha=\beta=0.
Tomemos v_1=(1,2,0) e v_2=(0,3,1) e escrevamos
\alpha(1,2,0) + \beta(0,3,1) = (0,0,0).
Isso dá o sistema coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] \beta = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Da terceira vem \(\beta=0. Isso satisfaz a segunda automaticamente. Portanto a única solução é \alpha=\beta=0, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 6

Como (1,2,0) e (0,3,1) geram S e são linearmente independentes, eles formam uma base de S. Consequência prática: \dim(S)=2, ou seja, S é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

(Comentário alternativo — método por eliminação gaussiana) Para conferir com outro método, escreve-se a equação como sistema homogêneo 2x-y+3z=0. A matriz associada ao núcleo é [2\\\ -1\\\ 3]. Resolver por escolha de parâmetros (por exemplo x=s,\\ z=t) leva novamente a y=2s+3t e ao mesmo conjunto gerador \{(1,2,0),(0,3,1)\}. Isso é apenas uma verificação alternativa da parametrização usada acima.

Resposta

\{(1,2,0),\,(0,3,1)\}

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