Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(a) S=\left\{(x, y, z) \in Re^{3} / y=2 x\right\}
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base para o espaço vetorial
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=2x\}.
Informações dadas:
Os vetores são da forma (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}.
Há uma restrição linear entre as coordenadas: y=2x.
O que precisa ser entregue: um conjunto de vetores que gera S (gera significa que todo vetor de S pode ser escrito como combinação linear desses vetores) e cujos vetores sejam linearmente independentes (isto é, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial).
Passo 2
Parametrizar os vetores de S. Como a restrição é y=2x, uma maneira natural é tomar x e z como parâmetros livres. Assim um vetor arbitrário de S tem a forma
(x,y,z)=(x,2x,z).
Agora escrevemos esse vetor como combinação linear dos parâmetros x e z. Agrupando termos:
(x,2x,z)=x(1,2,0)+z(0,0,1).
Isso mostra que todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,0,1).
Passo 3
Explicando o que fizemos (passo-a-passo didático). Quando parametrizamos por x e z estamos identificando dois graus de liberdade — portanto esperamos que S seja um plano (subespaço bidimensional) de \mathbb{R}^{3}. A expressão
(x,2x,z)=x(1,2,0)+z(0,0,1)
é a forma padrão de escrever que S está contido no subespaço gerado pelos vetores (1,2,0) e (0,0,1). Em linguagem técnica: S\subseteq\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,0,1)\}. Como também qualquer combinação linear desses dois vetores tem claramente segunda coordenada igual a duas vezes da primeira, vale a inclusão contrária, logo
S=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,0,1)\}.
Passo 4
Definição e verificação de independência linear (a outra condição para ser base). Lembrando a definição: vetores v_{1},v_{2}\) são linearmente independentes se a única solução do sistema
\[a v_{1}+b v_{2}=0
é a=b=0. Aqui tomamos v_{1}=(1,2,0) e v_{2}=(0,0,1) e escrevemos
As duas primeiras equações dão a=0\] (são consistentes entre si) e a terceira dá \(b=0. Logo a=b=0 é a única solução, ou seja, v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.]
Passo 5
Conclusão combinando os dois fatos: os vetores (1,2,0) e (0,0,1) geram S e são linearmente independentes. Portanto eles formam uma base de S. Comentário prático: com essa base qualquer vetor de S tem representação única como combinação linear desses vetores; por exemplo
(3,6,5)=3(1,2,0)+5(0,0,1).
Isto é útil na prova: para mostrar que algo pertence a S ou para coordenadas em relação à base.