Verifique se \vec{u}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 8\end{array}\right] e \vec{v}=\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right] pertencem ao espaço coluna da matriz
Pergunta:
verificar se \vec{u} e \vec{v} pertencem ao espaço coluna de A. Ou seja: existe um vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^3 tal que A\vec{x}=\vec{u}? E existe \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{v}?]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, passo a passo do que faremos).
O espaço coluna de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Verificar se um vetor \vec{b} pertence ao espaço coluna de A é equivalente a verificar se o sistema linear
A\vec{x}=\vec{b}
é consistente (tem solução). Se houver solução, \vec{b} é combinação linear das colunas de A; caso contrário, não pertence.
Para testar consistência vamos montar a matriz aumentada [A\mid \vec{b}] e fazer eliminação por linhas (redução por operações elementares) até chegar numa forma que nos diga se existe solução. Vou mostrar as operações com cuidado e explicar cada passo numérico para você conseguir reproduzir sem calculadora.
Passo 3
Testando \vec{u}: montar a matriz aumentada [A\mid \vec{u}].
Vejo que as linhas R_2 e R_3 têm a mesma proporção entre colunas: ambos têm o padrão [0\; -9\; -9] e [0\; -7\; -7], isto é, as duas indicam a mesma relação entre as variáveis. Para simplificar, divido R_2 por -9:
Aplicando essa linha simplificada para eliminar o 5 na primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2.
Cálculo: R_1 original [2\;5\;1\mid3] menos 5\cdot[0\;1\;1\mid -1]=[0\;5\;5\mid -5] dá [2\;0\;-4\mid 8].
Interpretação da solução para \vec{u}\).
- A partir da matriz escalonada temos o sistema equivalente
\[\begin{cases} x_1 - 2x_3 = 4,\\[4pt] x_2 + x_3 = -1. \end{cases}
Deixe x_3=t\] (variável livre). Então
\[x_1 = 4 + 2t,\qquad x_2 = -1 - t,\qquad x_3 = t.\]
Como existe pelo menos uma solução (na verdade uma família infinita), o sistema é consistente. Conclusão: \(\vec{u} é combinação linear das colunas de A, ou seja, \vec{u} pertence ao espaço coluna de A.]
Passo 6
Testando \vec{v}: montar a matriz aumentada [A\mid \vec{v}].
Note que as duas linhas R_2 e R_3 têm as mesmas proporções nas colunas (ambas são múltiplos do vetor [0\;1\;1]), mas os termos independentes são diferentes: 8 em R_2 e 8 em R_3 com multiplicadores diferentes — isso pode levar a contradição. Vamos mostrar explicitamente a contradição com combinação inteira:
Isso é equivalente a dizer 0 = 16, que é uma contradição. Essa contradição significa que o sistema é inconsistente: não existe \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{v}.
Passo 8
Conclusão final das verificações e interpretação.
Para \vec{u} encontramos soluções (família com parâmetro t), então \vec{u} pertence ao espaço coluna de A.
Para \vec{v} o sistema ficou inconsistente (contradição 0=16), então \vec{v} não pertence ao espaço coluna de A.
Resposta
\vec{u} pertence ao espaço coluna de A.\n\vec{v} não pertence ao espaço coluna de A.