Verifique se \vec{u}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 8\end{array}\right] e \vec{v}=\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right] pertencem ao espaço coluna da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\\\ -1 & -7 & -5 \\\\ 3 & 4 & -2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados:
\vec{u}=\begin{bmatrix}3\\[2pt]3\\[2pt]8\end{bmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{bmatrix}-2\\[2pt]5\\[2pt]1\end{bmatrix}
A=\begin{bmatrix} 2 & 5 & 1\\[2pt] -1 & -7 & -5\\[2pt] 3 & 4 & -2 \end{bmatrix}
Pergunta:
verificar se \vec{u} e \vec{v} pertencem ao espaço coluna de A. Ou seja: existe um vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^3 tal que A\vec{x}=\vec{u}? E existe \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{v}?]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, passo a passo do que faremos).
  • O espaço coluna de A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Verificar se um vetor \vec{b} pertence ao espaço coluna de A é equivalente a verificar se o sistema linear
A\vec{x}=\vec{b}
é consistente (tem solução). Se houver solução, \vec{b} é combinação linear das colunas de A; caso contrário, não pertence.
  • Para testar consistência vamos montar a matriz aumentada [A\mid \vec{b}] e fazer eliminação por linhas (redução por operações elementares) até chegar numa forma que nos diga se existe solução. Vou mostrar as operações com cuidado e explicar cada passo numérico para você conseguir reproduzir sem calculadora.

Passo 3

Testando \vec{u}: montar a matriz aumentada [A\mid \vec{u}].
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 1 & 3\\[4pt] -1 & -7 & -5 & 3\\[4pt] 3 & 4 & -2 & 8 \end{array}\right]
Queremos eliminar elementos abaixo da primeira coluna usando operações que evitem frações quando possível. Faço estas operações inteiras:
  • R_2 \leftarrow 2R_2 + R_1. Cálculo: 2(-1)+2=0, 2(-7)+5=-9, 2(-5)+1=-9, 2\cdot3+3=9.
  • R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1. Cálculo: 2\cdot3-3\cdot2=0, 2\cdot4-3\cdot5=-7, 2(-2)-3\cdot1=-7, 2\cdot8-3\cdot3=7.
Depois dessas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -9 & -9 & 9\\[4pt] 0 & -7 & -7 & 7 \end{array}\right]]

Passo 4

Continuando a redução para \vec{u}.
  • Vejo que as linhas R_2 e R_3 têm a mesma proporção entre colunas: ambos têm o padrão [0\; -9\; -9] e [0\; -7\; -7], isto é, as duas indicam a mesma relação entre as variáveis. Para simplificar, divido R_2 por -9:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-9}R_2 \implies R_2=[0\;1\;1\mid -1].
Aplicando essa linha simplificada para eliminar o 5 na primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2.
Cálculo: R_1 original [2\;5\;1\mid3] menos 5\cdot[0\;1\;1\mid -1]=[0\;5\;5\mid -5]
[2\;0\;-4\mid 8].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & -4 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -7 & -7 & 7 \end{array}\right]
Podemos simplificar R_1 dividindo por 2:
R_1\leftarrow \frac{1}{2}R_1 \implies R_1=[1\;0\;-2\mid 4].
Também podemos simplificar R_3 usando R_2: somando 7 vezes R_2 a R_3 para zerar a segunda entrada:
R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2.
Cálculo: R_3=[0\;-7\;-7\mid7]+7\cdot[0\;1\;1\mid -1]=[0\;0\;0\mid0].
A matriz escalonada final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretação da solução para \vec{u}\). - A partir da matriz escalonada temos o sistema equivalente \[\begin{cases} x_1 - 2x_3 = 4,\\[4pt] x_2 + x_3 = -1. \end{cases}
Deixe x_3=t\] (variável livre). Então \[x_1 = 4 + 2t,\qquad x_2 = -1 - t,\qquad x_3 = t.\] Como existe pelo menos uma solução (na verdade uma família infinita), o sistema é consistente. Conclusão: \(\vec{u} é combinação linear das colunas de A, ou seja, \vec{u} pertence ao espaço coluna de A.]

Passo 6

Testando \vec{v}: montar a matriz aumentada [A\mid \vec{v}].
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 1 & -2\\[4pt] -1 & -7 & -5 & 5\\[4pt] 3 & 4 & -2 & 1 \end{array}\right]
Faço operações análogas às do caso anterior (para manter coerência e evitar frações):
  • R_2 \leftarrow 2R_2 + R_1. Cálculo: 2(-1)+2=0, 2(-7)+5=-9, 2(-5)+1=-9, 2\cdot5+(-2)=10-2=8. Então R_2=[0\;-9\;-9\mid 8].
  • R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1. Cálculo: 2\cdot3-3\cdot2=0, 2\cdot4-3\cdot5=-7, 2(-2)-3\cdot1=-7, 2\cdot1-3(-2)=2+6=8. Então R_3=[0\;-7\;-7\mid 8].
Após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -9 & -9 & 8\\[4pt] 0 & -7 & -7 & 8 \end{array}\right]]

Passo 7

Verificando consistência para \vec{v}.
  • Note que as duas linhas R_2 e R_3 têm as mesmas proporções nas colunas (ambas são múltiplos do vetor [0\;1\;1]), mas os termos independentes são diferentes: 8 em R_2 e 8 em R_3 com multiplicadores diferentes — isso pode levar a contradição. Vamos mostrar explicitamente a contradição com combinação inteira:
7\cdot R_2 = [0\;-63\;-63\mid 56],\qquad 9\cdot R_3 = [0\;-63\;-63\mid 72].
Subtraindo essas duas igualdades obtemos
9\cdot R_3 - 7\cdot R_2 = [0\;0\;0\mid 72-56] = [0\;0\;0\mid 16].
Isso é equivalente a dizer 0 = 16, que é uma contradição. Essa contradição significa que o sistema é inconsistente: não existe \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{v}.

Passo 8

Conclusão final das verificações e interpretação.
  • Para \vec{u} encontramos soluções (família com parâmetro t), então \vec{u} pertence ao espaço coluna de A.
  • Para \vec{v} o sistema ficou inconsistente (contradição 0=16), então \vec{v} não pertence ao espaço coluna de A.

Resposta

\vec{u} pertence ao espaço coluna de A.\n \vec{v} não pertence ao espaço coluna de A.

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