Determine uma base e a dimensãa đé đa um dos subespaços vetoriais abolixo:
S=\left\{\left[\begin{array}{cc}2 a & a+2 b \\\\ 0 & a-b\end{array}\right] ; a, b \in \mathbb{R}\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
S=\Bigl\{\begin{pmatrix}2a & a+2b\\[6pt]0 & a-b\end{pmatrix};\;a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}\subset M_{2}(\mathbb{R}).
Estamos em espaços vetoriais (matrizes 2\times2), e basta expressar o gerador em função dos parâmetros a e b.]

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica como combinação linear de a e b. Para
\displaystyle M(a,b)=\begin{pmatrix}2a & a+2b\\[4pt]0 & a-b\end{pmatrix},
separamos os termos em a e em b:
M(a,b) = a\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
]

Passo 3

Os dois matrizes que aparecem como coeficientes de a e b geram S:
E_{1}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Logo
\displaystyle S=\mathrm{span}\{E_{1},E_{2}\}.
]

Passo 4

Verificamos que E_{1}\) e \(E_{2}\) são linearmente independentes. De fato, se \(\alpha E_{1}+\beta E_{2}=0\), olhando em cada entrada temos sistema \[\begin{cases} 2\alpha+0\beta=0,\\\ \alpha+2\beta=0,\\\\ 0\alpha+0\beta=0,\\\ \alpha-\beta=0. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=0\], e daí \(\beta=0. Logo só a combinação trivial anula.

Resposta

Uma base de S é
\Bigl\{\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\Bigr\},
e \dim S=2.
]

Exercícios relacionados