Seja o sistema
S:\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}=0 \\\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0 \end{array}\right.
Dizemos que S descreve uma reta se, e somente, se, os vetores \overrightarrow{n_{1}}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right) e \overrightarrow{n_{2}}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) formam um conjunto LI. Neste caso, temos as chamadas equações da reta na forma planar. Obtenha equações planares para as retas.
r: X=(1,9,4)+\lambda(-1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um sistema de duas equações planas cuja interseção seja a reta dada
r: X=(1,9,4)+\lambda(-1,1,1).
O conteúdo aqui é converter a forma paramétrica de uma reta em forma planar: isto é, achar dois planos cujas normais sejam lineares independentes e perpendiculares ao vetor direção \mathbf v=(-1,1,1).

Passo 2

Para que um plano de normal \mathbf n=(a,b,c) contenha a reta, precisamos que
\mathbf n\cdot\mathbf v=0,
isto é,
a(-1)+b(1)+c(1)=0.

Passo 3

Escolhemos dois vetores \mathbf n_{1} e \mathbf n_{2} que satisfaçam \mathbf n_{i}\cdot\mathbf v=0 e sejam LI. Por exemplo,
\mathbf n_{1}=(1,1,0) e \mathbf n_{2}=(0,1,-1).
Verificações:
\mathbf n_{1}\cdot\mathbf v=-1+1+0=0,\quad \mathbf n_{2}\cdot\mathbf v=0+1-1=0
e \mathbf n_{1},\mathbf n_{2} são claramente LI.

Passo 4

Cada plano passa pelo ponto P=(1,9,4). A equação de um plano com normal \mathbf n em P é
\mathbf n\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Para \mathbf n_{1}=(1,1,0) isso dá
1\,(x-1)+1\,(y-9)+0\,(z-4)=0 \;\Longrightarrow\; x+y-10=0.
Para \mathbf n_{2}=(0,1,-1) isso dá
0\,(x-1)+1\,(y-9)-1\,(z-4)=0 \;\Longrightarrow\; y-z-5=0.

Resposta

\begin{cases} x+y-10=0,\\\ y-z-5=0. \end{cases}

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