Dizemos que S descreve uma reta se, e somente, se, os vetores \overrightarrow{n_{1}}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right) e \overrightarrow{n_{2}}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) formam um conjunto LI. Neste caso, temos as chamadas equações da reta na forma planar. Obtenha equações planares para as retas. r: X=(1,9,4)+\lambda(-1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um sistema de duas equações planas cuja interseção seja a reta dada
r: X=(1,9,4)+\lambda(-1,1,1).
O conteúdo aqui é converter a forma paramétrica de uma reta em forma planar: isto é, achar dois planos cujas normais sejam lineares independentes e perpendiculares ao vetor direção \mathbf v=(-1,1,1).
Passo 2
Para que um plano de normal \mathbf n=(a,b,c) contenha a reta, precisamos que
\mathbf n\cdot\mathbf v=0,
isto é,
a(-1)+b(1)+c(1)=0.
Passo 3
Escolhemos dois vetores \mathbf n_{1} e \mathbf n_{2} que satisfaçam \mathbf n_{i}\cdot\mathbf v=0 e sejam LI. Por exemplo, \mathbf n_{1}=(1,1,0) e \mathbf n_{2}=(0,1,-1).
Verificações: