3/Seja f: \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{a}{c}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\left\{\frac{a}{c}\right\} uma função dada por
f(x)=\frac{a x+b}{c x-a}
onde a, b, c \in \mathbb{R}, a, c \neq 0 e a^{2}+b c \neq 0. Mostre que f úma função bijetora. Além disso, calcule sua função inversa. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{a}{c}\Bigr\}\to \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{a}{c}\Bigr\},
por
f(x)=\frac{a\,x+b}{c\,x - a},
com a,c\neq0 e a^{2}+b\,c\neq0. Precisamos mostrar que f é bijetora e encontrar sua inversa.

Passo 2

Vamos calcular f\bigl(f(x)\bigr). Substituindo f(x) em f,
f\bigl(f(x)\bigr) = \frac{a\,\frac{a x + b}{c x - a} + b}{c\,\frac{a x + b}{c x - a} - a} = \frac{\frac{a(a x + b) + b(c x - a)}{c x - a}}{\frac{c(a x + b) - a(c x - a)}{c x - a}} = \frac{(a^2 + b c)\,x}{a^2 + b c} = x.
Portanto
f\circ f = \mathrm{id}.

Passo 3

Como f\circ f=\mathrm{id}, segue que f é sobrejetora (todo y do contradomínio tem preimagem x=f(y)) e também injetora (se f(x_{1})=f(x_{2}) então aplicando f de novo vem x_{1}=x_{2}). Logo f é bijetora.

Passo 4

Para obter explicitamente f^{-1}, escrevemos y=f(x) e resolvemos em x:
y=\frac{a x + b}{c x - a} \;\Longrightarrow\; y\,(c x - a)=a x + b \;\Longrightarrow\; (c y - a)\,x = a y + b \;\Longrightarrow\; x=\frac{a y + b}{c y - a}.
Como c y - a\neq0 sempre que y\neq \tfrac{a}{c}, temos
f^{-1}(y)=\frac{a\,y + b}{c\,y - a}.
Note que esta fórmula coincide com a de f, ou seja, f^{-1}=f.

Resposta

f é bijetora e
f^{-1}(x)=\frac{a\,x + b}{c\,x - a}.

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