3/Seja
uma função dada por
onde
e
. Mostre que
úma função bijetora. Além disso, calcule sua função inversa. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado define
por
com
e
. Precisamos mostrar que
é bijetora e encontrar sua inversa.
Passo 2
Vamos calcular
. Substituindo
em
,
Portanto
Passo 3
Como
, segue que
é sobrejetora (todo
do contradomínio tem preimagem
) e também injetora (se
então aplicando
de novo vem
). Logo
é bijetora.
Passo 4
Para obter explicitamente
, escrevemos
e resolvemos em
:
Como
sempre que
, temos
Note que esta fórmula coincide com a de
, ou seja,
.