1. Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M(3 \times 3) abaixo:
    UBS: U traço de uma matrız e a soma dos elementos de sua diagonal prıncıpal.
(b) Matrizes anti-simétricas.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar uma base do subespaço das matrizes anti-simétricas em M(3\times3).
  • Determinar a dimensão desse subespaço.
Informações relevantes dadas (explicitadas para não restar dúvida):
  • Trabalhamos em M(3\times3), o espaço das matrizes 3\times3 (assumiremos coeficientes reais).
  • Uma matriz A é dita anti-simétrica (ou skew-symmetric) se satisfaz A^{T} = -A.
  • O problema pede explicitamente a base (uma lista de matrizes que geram o subespaço e são linearmente independentes) e a dimensão (número de vetores na base).

Passo 2

Entendendo bem a propriedade A^{T}=-A e suas consequências (aulas curtinhas e práticas).
  • Se A=(a_{ij}) e A^{T}=-A, então a_{ii} = -a_{ii} para todo i. Logo cada entrada diagonal deve satisfazer a_{ii}=0. Em palavras: todas as entradas da diagonal principal são zero.
  • Para i\neq j vale a_{ji} = -a_{ij}. Ou seja, os elementos abaixo da diagonal são totalmente determinados pelos elementos acima da diagonal (são seus negativos).
  • Conclusão prática: uma matriz anti-simétrica 3\times3 é determinada apenas pelos três coeficientes acima da diagonal: a_{12},a_{13},a_{23}. Se conhecemos esses três números, toda a matriz está determinada.

Passo 3

Escrever a forma geral de uma matriz anti-simétrica 3\times3.
  • Seja x,y,z\in\mathbb{R} os três parâmetros independentes correspondentes a a_{12},a_{13},a_{23}. Então qualquer matriz anti-simétrica A tem a forma
A=\begin{pmatrix} 0 & x & y\\[4pt] -x & 0 & z\\[4pt] -y & -z & 0 \end{pmatrix}.
  • Aqui explicando: a primeira linha tem 0,x,y; a segunda linha tem -x,0,z (porque a_{21}=-a_{12}=-x), e assim por diante.]

Passo 4

Escolher matrizes candidatas para formar uma base — pegar um parâmetro por vez.
  • Podemos isolar cada parâmetro x,y,z produzindo três matrizes onde apenas um parâmetro é 1 e os outros são 0. Essas matrizes serão:
B_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad B_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad B_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Intuição: B_{1} corresponde a x=1,y=0,z=0, B_{2} a x=0,y=1,z=0, B_{3} a x=0,y=0,z=1.]

Passo 5

Mostrar que as três matrizes B_{1},B_{2},B_{3} realmente geram o subespaço (span) e que são linearmente independentes.
  • Geram o subespaço: qualquer matriz anti-simétrica A da forma do Passo 3 pode ser escrita como combinação linear
A = x\,B_{1} + y\,B_{2} + z\,B_{3}.
Para ver isso, basta multiplicar a combinação e conferir que os coeficientes coinciduem com as entradas x,y,z da forma geral. Portanto todo elemento do subespaço está no span \{B_{1},B_{2},B_{3}\}.
  • Independência linear: suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha B_{1}+\beta B_{2}+\gamma B_{3}=0_{3\times3}.
Olhemos entrada por entrada. A entrada (1,2) dessa combinação é \alpha, logo \alpha=0. A entrada (1,3) é \beta, logo \beta=0. A entrada (2,3) é \gamma, logo \gamma=0. Assim os únicos coeficientes que anulam a combinação são zeros, provando que B_{1},B_{2},B_{3} são linearmente independentes.

Passo 6

Conclusão sobre base e dimensão; nota geral.
  • Como B_{1},B_{2},B_{3} geram o subespaço e são linearmente independentes, elas formam uma base.
  • O número de vetores da base é 3. Portanto a dimensão do subespaço das matrizes anti-simétricas em M(3\times3) é 3.
  • Observação útil (fora do cálculo específico): para matrizes anti-simétricas n\times n a dimensão é \dfrac{n(n-1)}{2} — aqui com n=3 \dfrac{3\cdot2}{2}=3, consistente com o que encontramos.

Resposta

Base:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
Dimensão: 3]

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