Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M(3 \times 3) abaixo:
UBS: U traço de uma matrız e a soma dos elementos de sua diagonal prıncıpal.
(b) Matrizes anti-simétricas.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar uma base do subespaço das matrizes anti-simétricas em M(3\times3).
Determinar a dimensão desse subespaço.
Informações relevantes dadas (explicitadas para não restar dúvida):
Trabalhamos em M(3\times3), o espaço das matrizes 3\times3 (assumiremos coeficientes reais).
Uma matriz A é dita anti-simétrica (ou skew-symmetric) se satisfaz A^{T} = -A.
O problema pede explicitamente a base (uma lista de matrizes que geram o subespaço e são linearmente independentes) e a dimensão (número de vetores na base).
Passo 2
Entendendo bem a propriedade A^{T}=-A e suas consequências (aulas curtinhas e práticas).
Se A=(a_{ij}) e A^{T}=-A, então a_{ii} = -a_{ii} para todo i. Logo cada entrada diagonal deve satisfazer a_{ii}=0. Em palavras: todas as entradas da diagonal principal são zero.
Para i\neq j vale a_{ji} = -a_{ij}. Ou seja, os elementos abaixo da diagonal são totalmente determinados pelos elementos acima da diagonal (são seus negativos).
Conclusão prática: uma matriz anti-simétrica 3\times3 é determinada apenas pelos três coeficientes acima da diagonal: a_{12},a_{13},a_{23}. Se conhecemos esses três números, toda a matriz está determinada.
Passo 3
Escrever a forma geral de uma matriz anti-simétrica 3\times3.
Seja x,y,z\in\mathbb{R} os três parâmetros independentes correspondentes a a_{12},a_{13},a_{23}. Então qualquer matriz anti-simétrica A tem a forma
Intuição: B_{1} corresponde a x=1,y=0,z=0, B_{2} a x=0,y=1,z=0, B_{3} a x=0,y=0,z=1.]
Passo 5
Mostrar que as três matrizes B_{1},B_{2},B_{3} realmente geram o subespaço (span) e que são linearmente independentes.
Geram o subespaço: qualquer matriz anti-simétrica A da forma do Passo 3 pode ser escrita como combinação linear
A = x\,B_{1} + y\,B_{2} + z\,B_{3}.
Para ver isso, basta multiplicar a combinação e conferir que os coeficientes coinciduem com as entradas x,y,z da forma geral. Portanto todo elemento do subespaço está no span\{B_{1},B_{2},B_{3}\}.
Independência linear: suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
Olhemos entrada por entrada. A entrada (1,2) dessa combinação é \alpha, logo \alpha=0. A entrada (1,3) é \beta, logo \beta=0. A entrada (2,3) é \gamma, logo \gamma=0. Assim os únicos coeficientes que anulam a combinação são zeros, provando que B_{1},B_{2},B_{3} são linearmente independentes.
Passo 6
Conclusão sobre base e dimensão; nota geral.
Como B_{1},B_{2},B_{3} geram o subespaço e são linearmente independentes, elas formam uma base.
O número de vetores da base é 3. Portanto a dimensão do subespaço das matrizes anti-simétricas em M(3\times3) é 3.
Observação útil (fora do cálculo específico): para matrizes anti-simétricas n\times n a dimensão é \dfrac{n(n-1)}{2} — aqui com n=3 dá \dfrac{3\cdot2}{2}=3, consistente com o que encontramos.