Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(iii)
(iii)
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e o subespaço
Queremos encontrar uma base de
e sua dimensão. Para isso, vamos usar a ideia de fatoração de polinômios por raízes conhecidas.
Passo 2
As condições
e
implicam que
e
são fatores de
. Logo existem coeficientes reais tais que
onde
é um polinômio de grau
, ou seja
. Portanto
e a correspondência
é um isomorfismo linear de
em
.
Passo 3
Uma base canônica de
é
Multiplicando cada polinômio dessa base por
, obtemos três polinômios em
:
Esses três vetores geram
(pois todo
é
para algum
) e são linearmente independentes (herdando indepêndencia da base de
via isomorfismo). Logo formam uma base de
.
Passo 4
Como
tem dimensão
e há um isomorfismo linear para
, concluímos
Resposta
Uma base de
é
e
.