Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(iii) S=p in P4(R) mid p(1)=p(-1)=0

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P4(R) (polinômios de grau <=4) e o subespaço
S = ,pin P4(R) mid p(1)=0,;p(-1)=0
Queremos encontrar uma base de S e sua dimensão. Para isso, vamos usar a ideia de fatoração de polinômios por raízes conhecidas.

Passo 2

As condições p(1)=0 e p(-1)=0 implicam que x-1 e x+1 são fatores de p(x). Logo existem coeficientes reais tais que
p(x)=(x-1)(x+1),q(x) = (x^2-1),q(x),
onde q(x) é um polinômio de grau <=2, ou seja qin P2(R). Portanto
S = (x^2-1),q(x)mid qin P2(R)
e a correspondência qmapsto (x^2-1),q é um isomorfismo linear de P2(R) em S.

Passo 3

Uma base canônica de P2(R) é
,1,;x,;x^2
Multiplicando cada polinômio dessa base por x^2-1, obtemos três polinômios em S:
(x^2-1)cdot 1 = x^2-1,
(x^2-1)cdot x = x^3 - x,
(x^2-1)cdot x^2 = x^4 - x^2
Esses três vetores geram S (pois todo pin S é (x^2-1)q para algum qinP2) e são linearmente independentes (herdando indepêndencia da base de P2 via isomorfismo). Logo formam uma base de S.

Passo 4

Como P2(R) tem dimensão 3 e há um isomorfismo linear para S, concluímos
dim S = 3

Resposta

Uma base de S é
,x^2-1,;x^3-x,;x^4-x^2,
e dim S = 3.

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