Seja B=1,2-x, x^2+1,1+x+x^3. Verifique que B é uma base para P3(R) e determine as coordenadas do polinômio p(x)=x^3 em relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que B=1,,2-x,,x^2+1,,1+x+x^3 é uma base de P3(R) e, em seguida, determinar as coordenadas do polinômio p(x)=x^3 em relação a B. Como dimP3=4, basta mostrar que esses quatro polinômios são linearmente independentes e, depois, expressar x^3 como combinação linear deles.

Passo 2

Represente cada polinômio de B na base padrão 1,x,x^2,x^3. As colunas da matriz de mudança de base são os vetores de coordenadas:
M= 1 & 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
onde as colunas correspondem, respectivamente, a
,1,
,2-x,
,x^2+1
e
,1+x+x^3.

Passo 3

Como M é triangular superior, seu determinante é
det(M)=1cdot(-1)cdot1cdot1=-1neq0
Logo os vetores de B são linearmente independentes e, por terem quatro elementos em P3, formam uma base.

Passo 4

Para achar as coordenadas de x^3, escreva
acdot1 ;+; b,(2-x);+; c,(x^2+1);+; d,(1+x+x^3);=;x^3
Agrupando coeficientes de 1, x, x^2 e x^3, obtemos o sistema
a+2b+c+d=0, -b+d=0, c=0, d=1

Passo 5

Do sistema segue d=1, c=0, de -b+1=0 vem b=1 e de a+2cdot1+0+1=0 resulta a=-3. Portanto as coordenadas de x^3 em relação a B são
(a,b,c,d)=(-3,,1,,0,,1)

Resposta

As coordenadas de p(x)=x^3 na base B são l(-3,,1,,0,,1r).

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