Seja . Verifique que é uma base para e determine as coordenadas do polinômio em relação à base .
Passo 1
O enunciado pede para verificar que é uma base de e, em seguida, determinar as coordenadas do polinômio em relação a . Como , basta mostrar que esses quatro polinômios são linearmente independentes e, depois, expressar como combinação linear deles.
Passo 2
Represente cada polinômio de na base padrão . As colunas da matriz de mudança de base são os vetores de coordenadas:
onde as colunas correspondem, respectivamente, a ,1, ,2-x, ,x^2+1
e ,1+x+x^3.
Passo 3
Como M é triangular superior, seu determinante é
det(M)=1cdot(-1)cdot1cdot1=-1neq0
Logo os vetores de B são linearmente independentes e, por terem quatro elementos em P3, formam uma base.